Los Cuadrados Mágicos (11) Operaciones mátematicas con los cuadrados mágicos

En año de 1787 un maestro de la escuela primaria de Brunswick, Alemania, puso un problema a sus alumnos, con la esperanza de pasar un rato de paz; la tarea consistía en sumar los números del 1 al 100. Al cabo de unos minutos se acercó un chico con su pizarra que mostraba un sólo número 5050, que era  la respuesta correcta del problema. El chico en cuestión se llamaba Johann Carl Friedrich Gauss. Como lo hizo, no lo sabemos; pero lo cierto es que la suma de números enteros consecutivos da lo que se conoce desde la antigua Grecia clásica a los números triangulares (1, 3, 6, 10, 15…) ya conocidos por los pitagóricos porque el arreglo como si fueran puntos en un tablero da triángulos equiláteros.

 

1 = 1

1+2 = 3

1+2+3 = 6

1+2+3+4 = 10

1+2+3+4+5 = 15

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Desde los antiguos griegos se sabía que números triangulares resultantes de la suma desde el número “1” hasta un número “n” era igual a la cantidad  “[(n)x(n+1)/2]”, que es  la mitad del área de un rectángulo de altura “n” y base “n+1” (esto es el área de un triangulo [Altura x Base/2])

numeros triangulares_2

Gauss a la edad de dieciocho años encontraría uno de sus primeros descubrimientos matemáticos, algo nuevo sobre estos números triangulares, estableció que todo numero natural puede ser expresado con la suma de no más de tres números triangulares.

Independiente de estos logros, lo que nos importa es que poseemos una fórmula para calcular al valor de la suma  de N números consecutivos empezando en uno; como es el caso de cuadrados esotéricos.  Para cada orden “N” de un cuadrado esotérico, los números del cuadrado van desde 1 hasta NxN, por lo tanto resulta la suma de todos los cuadrados igual a:

Orden (N)

NxN = N2

S = Suma desde 1 a N2

1

1

1

2

4 10
3 9 45
4 16 136
5 25 325
6 36 666
7 49 1225
8 64 2080
9 81 3321

Analicemos ahora un cuadrado de orden tres, independiente de los números dentro del cuadrado (no necesariamente esotérico) debe ocurrir que si los nueve números son: a1, a2, a3, …, a9, se debe satisfacer para ser un cuadrado mágico las siguientes condiciones:

a1 + a2 + a3 = c (1)

a4 + a5 + a6 = c (2)

a7 + a8 + a9 = c (3)

a1 + a4 + a7 = c (4)

a2 + a5 + a8 = c (5)

a3 + a6 + a9 = c (6)

a1 + a5 + a9 = c (7)

a3 + a5 + a7 = c (8)

Si sumamos (1)+(2)+(3) el resultado será tres veces la constante del cuadrado, y está suma es igual a la suma de todos los números de la tabla, por lo tanto se puede establecer que para un cuadrado de orden tres, la constante del cuadrado es igual a 1/3 de la suma de todos los números presentes en el cuadrado.

Esta idea es extensible a cualquier orden, siendo la constante de un cuadrado de orden “N” igual a la suma de todos los números del cuadrado mágico “S” entre el valor del orden “N”.

c = constante para el orden N =  S/N

Para los cuadrados esotéricos resulta ser:

Orden (N)

S= Suma desde 1 a N2

c = constante = S/n

1

1

1

2

10 5
3 45 15
4 136 34
5 325 65
6 666 111
7 1225 175
8 2080 260
9 3321 369

Sumando la fila central, la columna central y las dos diagonales [(2), (5), (7) y (8)] se tiene para el cuadrado de orden tres:

a4 + a5 + a6 + a2 + a5 + a8 + a1 + a5 + a9 + a3 + a5 + a7 = 4c

(a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9) + 3a5= 4c

3c + 3a5 = 4c

a5 = c/3

La idea anterior es extensible al resto de los cuadrados mágicos de orden mayor, esto es que para cuadrados mágicos de ordenes impares el número central es igual a:

acentral = c/N

En el caso de cuadrados mágicos de orden par, no existe un cuadrado central, sino que  en cuadrados de orden par se tiene que los cuatro cuadrados centrales, su suma debe ser igual a cuatro veces ese número central.

acentral_1 + acentral_2 + acentral_3 + acentral_4= 4c/N

Aunque lo anterior permite ayudar en la construcción de un cuadrado mágico, para ordenes mayores que cuatro (puede confirmar ello en los cuadrados mágicos de Agripa), no es una regla estricta, el número central puede variar, el ejemplo  inferior lo muestra.

cinco-1

Las reglas anteriores también permiten demostrar que no se puede construir un cuadrado mágico de orden dos, salvo que todos los números del cuadrado sean iguales.

a1 + a2 = c (1)

a3 + a4 = c (2)

a1 + a4 = c (3)

a2 + a3 = c (4)

Si  de (1) despejamos a1 y reemplazamos en (3), se obtiene que:

a1 = c a2 c a2 + a4 = c a2 = a4

Si se reemplaza este resultado en el resto de las expresiones se obtiene que todos los números del cuadrado de orden dos deben ser iguales.

En el caso del cuadrado mágico más simple (el de orden tres) para cualquiera que sean los números del cuadrado  de se puede aplicando las reglas anteriores determinar el valor de la constante y del  número central. Por ejemplo si los números son: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7 y 8 se tiene que la suma es 54, la constante 18 y el valor central 6. Sabemos que si sumamos los números del 1 al 9, la suma es 45, la constante 15 y el valor central 5.

Cuando se suman dos cuadrados mágicos,  (ver figura inferior), el resultado es otro cuadrado mágico cuya constante mágica es la suma de ambos (7+6=13, 4+1=5, 7+8=15,  6+7=13, 6+5=11, 6+3=9, 5+2=7, 8+9=17 y 5+4=9), la constante mágica es 18+15=33 y el valor central es 33/3=11.

suma 01_1

Esto también nos habla de la posibilidad de decir rápidamente si es posible dado unos números  determinar si se puede formar un cuadrado mágico, por ejemplo tenemos las siguientes cantidades:

Cantidades Suma Constante Valor
Central
Posibilidad

2, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 36, 48

170

56,66

18,88

Imposible

2, 3, 4, 6, 7, 10,12,
13, 15

2

24

8

Imposible no existe el valor central

0, 4, 6, 9, 12, 15, 18, 10, 24

108

36

12

Parece posible hasta intentarlo

Gráficamente podemos constatar el que  se cumpla con las propiedades establecidas para el valor de  la constante del cuadrado y el valor del número central, ello no significa que es posible construir el cuadrado.

suma 01-2

La suma de cuadrados mágicos plantea la posibilidad de la existencia de un cuadrado neutro a la operación de la suma, este cuadrado mágico en cuestión es el cuadrado mágico “nulo”, cuya constante es cero (0), donde todas sus casillas son  nulas. Ello permite la posibilidad de la existencia de de cuadrados mágicos “opuestos”, esto es que al sumar un cuadrado con su opuesto de cuadrado resulte el cuadrado nulo.

Al multiplicar un cuadrado mágico por un número el resultado es otro cuadrado mágico con constante igual a la constante del cuadrado original multiplicada por el número. Esta operación permite la existencia de un cuadrado neutro para la multiplicación, este cuadrado tiene en todas sus casillas el valor uno (1), denominaremos a este cuadrado mágico  cuadrado mágico “unitario”. Así por ejemplo el cuadrado mágico de “Alá” es el resultado de la suma de dos cuadrados mágicos, el cuadrado esotérico de orden tres (constante 15) y un cuadrado de constante cincuenta y uno  (51) producto de multiplicar el cuadrado unitario por el valor central diecisiete (17 = 51/3).

Aunque el número de posibilidades para construir un cuadrado mágico con determinados números está vinculado al orden, hoy se sabe que para cualquier constante de un cuadrado, es posible construir infinitos cuadrados mágicos, no limitándose a los números naturales correlativos o a números naturales cualesquiera, sino que es posible usar números enteros, fracciones, cantidades decimales o números reales. La demostración de ello se basa en un principio muy simple. Por ejemplo la relación: 32+42=52, en ella sólo es posible que dos naturales elevados al cuadrado den otro natural elevado al cuadrado; pero si no se trabaja con números naturales para la expresión x2+y2=52, es posible infinitos valores de “x” y “y” relacionados que cumplen con ella. Igual sucede con los cuadrados mágicos.

aritmetico_02-2-1

Los Cuadrados Mágicos (12) Los cuadrados de Euler.

Leonhard Paul Euler, nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza), y muere el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos. Entre sus muchos estudios se interesó en los cuadrados mágicos, y realizó con ellos un trabajo más algebraico que numérico, para ello introdujo letras latinas en vez de números. A estos los llamó “cuadrados latinos” por el tipo de letra usadas, (Al cambiarse las letras por números, se obtiene una suma igual en cada fila y en cada columna).

latino 0

Si se observa la figura inferior se tiene que para construir un cuadrado latino es suficiente con conocer una de las permutas de los elementos (abajo con colores) y colocar en la primera fila esa permuta, en la siguiente fila colocar la misma secuencia pero un cuadro más adelante y así sucesivamente. En cuadrados de orden mayor que tres, se pueden avanzar más espacios.

latino 12

Dos cuadrados latinos son equivalente si es posible producir uno a partir de otro a través de una permutación de sus elementos. En la figura de arriba los seis primeros y los seis últimos son equivalentes entre si. Aquellos cuadrados que no cumplen con lo anterior, esto es que no son isoformos son los cuadrados no equivalente, cualquiera de los seis primeros comparados con cualquiera de los seis últimos. En la figura inferior tenemos cuadrados latinos de orden cuatro que no son equivalentes entre si.

latino 2

Uno de los pasatiempos favoritos en la Europa del siglo XVIII derivó de aquellas investigaciones, Euler lo definía así:

De una baraja se toman las cuatro figuras: sota, caballo, rey y as; se procura colocarlas en un cuadro de 4 x 4 de forma que en cada fila y columna haya solo una carta de cada valor y solo una de cada palo.

El problema parece sencillo, pero no lo es pues involucra dos cuadrados mágicos latinos sobrepuestos: uno con la figura y el otro con el palo. Al tipo de cuadrado que involucraba dos variables, Euler lo llamó “cuadrado greco-latino” pues incluyó letras griegas y latinas en él.

baraja

Un cuadrado grecolatino resulta cuando en de la superposición de dos cuadrados latinos el cuadrado resultante no tiene ninguna letras o signo repetido en fila o columna, ello es posible si ambos cuadrados latinos son ortogonales entre si.

bg0

En 1779 el gran matemático suizo Leonhard Euler, al comienzo de una larga memoria titulada “Investigaciones sobre una nueva clase de cuadrados mágicos”, señalaba.

Un problema muy curioso, que ha acaparado el interés de mucha gente, me ha obligado a hacer las investigaciones expuestas en esta memoria, las cuales parecen abrir una nueva ruta en el campo del análisis, y más concretamente en la teoría de las combinaciones. Este problema versa sobre una agrupación de 36 oficiales de 6 grados diferentes y 6 diferentes regimientos que debían ordenarse en forma de cuadrado, de manera que en cada fila y en cada columna se hallasen 6 oficiales diferentes tanto por su graduación como por su regimiento. Pues bien, después de todas las molestias que me he tomado para resolver este problema, me veo obligado a reconocer que tal ordenamiento es imposible, aunque sea incapaz de dar una demostración rigurosa.

Aunque es fácilmente observable que se puede construir un cuadrado grecolatino de orden 3, para la época de Euler, él constató y señaló en la obra citada antes que era posible la existencia de cuadrados latinos ortogonales de orden impar, así como los de orden par múltiplos de cuatro, pero postuló que no se podían construir cuadrados grecolatinos de orden par no múltiplos de cuatro, esto es, ordenes:  2 (1×2), 6 (3×2), 10 (5×2), etc.

tres soldados

seis soldados

Hubo que esperar al siglo XX para cuando Raj Chandra Bose y Sharadchandra Shankar Shrikhande construyeran en 1959 un cuadrado grecolatino de orden 22 (11×2) y luego otro de orden 10 (5×2). La hipótesis de Euler fue nuevamente verificada y estos estadísticos hindues recidenciados en USA, junto con Ernest Tilden Parker demostrarían que sólo se verifica la hipotesis de Euler para los cuadrados grecolatinos de orden dos y de orden seis, para cualquier otro orden es posible construir cuadrados grecolatinos.

La construcción de cuadrados grecolatinos de orden impar es relativamente simple, un ejemplo se ilustra en la figura inferior.

grecolatino

Los estudios de Euler sobre cuadrados mágicos parecían no ir dirigidos a aplicaciones concretas, pero hoy se emplean los cuadrados latinos y los grecolatinos en estadísticas, en el llamado “diseño de experimentos factoriales”, permitiendo reducir en pocos ensayos lo que de otras forma significaría el producto de muchas variables un total de ensayos que elevaría los costos del estudio a situaciones inviables.

Una variante de los cuadrados latinos es el sudoku, pasatiempo que consiste en llenar un cuadrado de 9 x 9 casillas con números del 1 al 9, de tal forma que no se repitan en ninguna fila ni columna. La novedad consistió en establecer que cada uno de los 9 subcuadrados formados también contasen con los números del 1 al 9.

sudoku1

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Para más de la historia del Sudoku se puede consultar aquí y aquí.