Los Cuadrados Mágicos (11) Operaciones mátematicas con los cuadrados mágicos

En año de 1787 un maestro de la escuela primaria de Brunswick, Alemania, puso un problema a sus alumnos, con la esperanza de pasar un rato de paz; la tarea consistía en sumar los números del 1 al 100. Al cabo de unos minutos se acercó un chico con su pizarra que mostraba un sólo número 5050, que era  la respuesta correcta del problema. El chico en cuestión se llamaba Johann Carl Friedrich Gauss. Como lo hizo, no lo sabemos; pero lo cierto es que la suma de números enteros consecutivos da lo que se conoce desde la antigua Grecia clásica a los números triangulares (1, 3, 6, 10, 15…) ya conocidos por los pitagóricos porque el arreglo como si fueran puntos en un tablero da triángulos equiláteros.

 

1 = 1

1+2 = 3

1+2+3 = 6

1+2+3+4 = 10

1+2+3+4+5 = 15

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Desde los antiguos griegos se sabía que números triangulares resultantes de la suma desde el número “1” hasta un número “n” era igual a la cantidad  “[(n)x(n+1)/2]”, que es  la mitad del área de un rectángulo de altura “n” y base “n+1” (esto es el área de un triangulo [Altura x Base/2])

numeros triangulares_2

Gauss a la edad de dieciocho años encontraría uno de sus primeros descubrimientos matemáticos, algo nuevo sobre estos números triangulares, estableció que todo numero natural puede ser expresado con la suma de no más de tres números triangulares.

Independiente de estos logros, lo que nos importa es que poseemos una fórmula para calcular al valor de la suma  de N números consecutivos empezando en uno; como es el caso de cuadrados esotéricos.  Para cada orden “N” de un cuadrado esotérico, los números del cuadrado van desde 1 hasta NxN, por lo tanto resulta la suma de todos los cuadrados igual a:

Orden (N)

NxN = N2

S = Suma desde 1 a N2

1

1

1

2

4 10
3 9 45
4 16 136
5 25 325
6 36 666
7 49 1225
8 64 2080
9 81 3321

Analicemos ahora un cuadrado de orden tres, independiente de los números dentro del cuadrado (no necesariamente esotérico) debe ocurrir que si los nueve números son: a1, a2, a3, …, a9, se debe satisfacer para ser un cuadrado mágico las siguientes condiciones:

a1 + a2 + a3 = c (1)

a4 + a5 + a6 = c (2)

a7 + a8 + a9 = c (3)

a1 + a4 + a7 = c (4)

a2 + a5 + a8 = c (5)

a3 + a6 + a9 = c (6)

a1 + a5 + a9 = c (7)

a3 + a5 + a7 = c (8)

Si sumamos (1)+(2)+(3) el resultado será tres veces la constante del cuadrado, y está suma es igual a la suma de todos los números de la tabla, por lo tanto se puede establecer que para un cuadrado de orden tres, la constante del cuadrado es igual a 1/3 de la suma de todos los números presentes en el cuadrado.

Esta idea es extensible a cualquier orden, siendo la constante de un cuadrado de orden “N” igual a la suma de todos los números del cuadrado mágico “S” entre el valor del orden “N”.

c = constante para el orden N =  S/N

Para los cuadrados esotéricos resulta ser:

Orden (N)

S= Suma desde 1 a N2

c = constante = S/n

1

1

1

2

10 5
3 45 15
4 136 34
5 325 65
6 666 111
7 1225 175
8 2080 260
9 3321 369

Sumando la fila central, la columna central y las dos diagonales [(2), (5), (7) y (8)] se tiene para el cuadrado de orden tres:

a4 + a5 + a6 + a2 + a5 + a8 + a1 + a5 + a9 + a3 + a5 + a7 = 4c

(a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9) + 3a5= 4c

3c + 3a5 = 4c

a5 = c/3

La idea anterior es extensible al resto de los cuadrados mágicos de orden mayor, esto es que para cuadrados mágicos de ordenes impares el número central es igual a:

acentral = c/N

En el caso de cuadrados mágicos de orden par, no existe un cuadrado central, sino que  en cuadrados de orden par se tiene que los cuatro cuadrados centrales, su suma debe ser igual a cuatro veces ese número central.

acentral_1 + acentral_2 + acentral_3 + acentral_4= 4c/N

Aunque lo anterior permite ayudar en la construcción de un cuadrado mágico, para ordenes mayores que cuatro (puede confirmar ello en los cuadrados mágicos de Agripa), no es una regla estricta, el número central puede variar, el ejemplo  inferior lo muestra.

cinco-1

Las reglas anteriores también permiten demostrar que no se puede construir un cuadrado mágico de orden dos, salvo que todos los números del cuadrado sean iguales.

a1 + a2 = c (1)

a3 + a4 = c (2)

a1 + a4 = c (3)

a2 + a3 = c (4)

Si  de (1) despejamos a1 y reemplazamos en (3), se obtiene que:

a1 = c a2 c a2 + a4 = c a2 = a4

Si se reemplaza este resultado en el resto de las expresiones se obtiene que todos los números del cuadrado de orden dos deben ser iguales.

En el caso del cuadrado mágico más simple (el de orden tres) para cualquiera que sean los números del cuadrado  de se puede aplicando las reglas anteriores determinar el valor de la constante y del  número central. Por ejemplo si los números son: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7 y 8 se tiene que la suma es 54, la constante 18 y el valor central 6. Sabemos que si sumamos los números del 1 al 9, la suma es 45, la constante 15 y el valor central 5.

Cuando se suman dos cuadrados mágicos,  (ver figura inferior), el resultado es otro cuadrado mágico cuya constante mágica es la suma de ambos (7+6=13, 4+1=5, 7+8=15,  6+7=13, 6+5=11, 6+3=9, 5+2=7, 8+9=17 y 5+4=9), la constante mágica es 18+15=33 y el valor central es 33/3=11.

suma 01_1

Esto también nos habla de la posibilidad de decir rápidamente si es posible dado unos números  determinar si se puede formar un cuadrado mágico, por ejemplo tenemos las siguientes cantidades:

Cantidades Suma Constante Valor
Central
Posibilidad

2, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 36, 48

170

56,66

18,88

Imposible

2, 3, 4, 6, 7, 10,12,
13, 15

2

24

8

Imposible no existe el valor central

0, 4, 6, 9, 12, 15, 18, 10, 24

108

36

12

Parece posible hasta intentarlo

Gráficamente podemos constatar el que  se cumpla con las propiedades establecidas para el valor de  la constante del cuadrado y el valor del número central, ello no significa que es posible construir el cuadrado.

suma 01-2

La suma de cuadrados mágicos plantea la posibilidad de la existencia de un cuadrado neutro a la operación de la suma, este cuadrado mágico en cuestión es el cuadrado mágico “nulo”, cuya constante es cero (0), donde todas sus casillas son  nulas. Ello permite la posibilidad de la existencia de de cuadrados mágicos “opuestos”, esto es que al sumar un cuadrado con su opuesto de cuadrado resulte el cuadrado nulo.

Al multiplicar un cuadrado mágico por un número el resultado es otro cuadrado mágico con constante igual a la constante del cuadrado original multiplicada por el número. Esta operación permite la existencia de un cuadrado neutro para la multiplicación, este cuadrado tiene en todas sus casillas el valor uno (1), denominaremos a este cuadrado mágico  cuadrado mágico “unitario”. Así por ejemplo el cuadrado mágico de “Alá” es el resultado de la suma de dos cuadrados mágicos, el cuadrado esotérico de orden tres (constante 15) y un cuadrado de constante cincuenta y uno  (51) producto de multiplicar el cuadrado unitario por el valor central diecisiete (17 = 51/3).

Aunque el número de posibilidades para construir un cuadrado mágico con determinados números está vinculado al orden, hoy se sabe que para cualquier constante de un cuadrado, es posible construir infinitos cuadrados mágicos, no limitándose a los números naturales correlativos o a números naturales cualesquiera, sino que es posible usar números enteros, fracciones, cantidades decimales o números reales. La demostración de ello se basa en un principio muy simple. Por ejemplo la relación: 32+42=52, en ella sólo es posible que dos naturales elevados al cuadrado den otro natural elevado al cuadrado; pero si no se trabaja con números naturales para la expresión x2+y2=52, es posible infinitos valores de “x” y “y” relacionados que cumplen con ella. Igual sucede con los cuadrados mágicos.

aritmetico_02-2-1

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