Los Cuadrados Mágicos (12) Los cuadrados de Euler.

Leonhard Paul Euler, nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza), y muere el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos. Entre sus muchos estudios se interesó en los cuadrados mágicos, y realizó con ellos un trabajo más algebraico que numérico, para ello introdujo letras latinas en vez de números. A estos los llamó “cuadrados latinos” por el tipo de letra usadas, (Al cambiarse las letras por números, se obtiene una suma igual en cada fila y en cada columna).

latino 0

Si se observa la figura inferior se tiene que para construir un cuadrado latino es suficiente con conocer una de las permutas de los elementos (abajo con colores) y colocar en la primera fila esa permuta, en la siguiente fila colocar la misma secuencia pero un cuadro más adelante y así sucesivamente. En cuadrados de orden mayor que tres, se pueden avanzar más espacios.

latino 12

Dos cuadrados latinos son equivalente si es posible producir uno a partir de otro a través de una permutación de sus elementos. En la figura de arriba los seis primeros y los seis últimos son equivalentes entre si. Aquellos cuadrados que no cumplen con lo anterior, esto es que no son isoformos son los cuadrados no equivalente, cualquiera de los seis primeros comparados con cualquiera de los seis últimos. En la figura inferior tenemos cuadrados latinos de orden cuatro que no son equivalentes entre si.

latino 2

Uno de los pasatiempos favoritos en la Europa del siglo XVIII derivó de aquellas investigaciones, Euler lo definía así:

De una baraja se toman las cuatro figuras: sota, caballo, rey y as; se procura colocarlas en un cuadro de 4 x 4 de forma que en cada fila y columna haya solo una carta de cada valor y solo una de cada palo.

El problema parece sencillo, pero no lo es pues involucra dos cuadrados mágicos latinos sobrepuestos: uno con la figura y el otro con el palo. Al tipo de cuadrado que involucraba dos variables, Euler lo llamó “cuadrado greco-latino” pues incluyó letras griegas y latinas en él.

baraja

Un cuadrado grecolatino resulta cuando en de la superposición de dos cuadrados latinos el cuadrado resultante no tiene ninguna letras o signo repetido en fila o columna, ello es posible si ambos cuadrados latinos son ortogonales entre si.

bg0

En 1779 el gran matemático suizo Leonhard Euler, al comienzo de una larga memoria titulada “Investigaciones sobre una nueva clase de cuadrados mágicos”, señalaba.

Un problema muy curioso, que ha acaparado el interés de mucha gente, me ha obligado a hacer las investigaciones expuestas en esta memoria, las cuales parecen abrir una nueva ruta en el campo del análisis, y más concretamente en la teoría de las combinaciones. Este problema versa sobre una agrupación de 36 oficiales de 6 grados diferentes y 6 diferentes regimientos que debían ordenarse en forma de cuadrado, de manera que en cada fila y en cada columna se hallasen 6 oficiales diferentes tanto por su graduación como por su regimiento. Pues bien, después de todas las molestias que me he tomado para resolver este problema, me veo obligado a reconocer que tal ordenamiento es imposible, aunque sea incapaz de dar una demostración rigurosa.

Aunque es fácilmente observable que se puede construir un cuadrado grecolatino de orden 3, para la época de Euler, él constató y señaló en la obra citada antes que era posible la existencia de cuadrados latinos ortogonales de orden impar, así como los de orden par múltiplos de cuatro, pero postuló que no se podían construir cuadrados grecolatinos de orden par no múltiplos de cuatro, esto es, ordenes:  2 (1×2), 6 (3×2), 10 (5×2), etc.

tres soldados

seis soldados

Hubo que esperar al siglo XX para cuando Raj Chandra Bose y Sharadchandra Shankar Shrikhande construyeran en 1959 un cuadrado grecolatino de orden 22 (11×2) y luego otro de orden 10 (5×2). La hipótesis de Euler fue nuevamente verificada y estos estadísticos hindues recidenciados en USA, junto con Ernest Tilden Parker demostrarían que sólo se verifica la hipotesis de Euler para los cuadrados grecolatinos de orden dos y de orden seis, para cualquier otro orden es posible construir cuadrados grecolatinos.

La construcción de cuadrados grecolatinos de orden impar es relativamente simple, un ejemplo se ilustra en la figura inferior.

grecolatino

Los estudios de Euler sobre cuadrados mágicos parecían no ir dirigidos a aplicaciones concretas, pero hoy se emplean los cuadrados latinos y los grecolatinos en estadísticas, en el llamado “diseño de experimentos factoriales”, permitiendo reducir en pocos ensayos lo que de otras forma significaría el producto de muchas variables un total de ensayos que elevaría los costos del estudio a situaciones inviables.

Una variante de los cuadrados latinos es el sudoku, pasatiempo que consiste en llenar un cuadrado de 9 x 9 casillas con números del 1 al 9, de tal forma que no se repitan en ninguna fila ni columna. La novedad consistió en establecer que cada uno de los 9 subcuadrados formados también contasen con los números del 1 al 9.

sudoku1

_____________________________
Para más de la historia del Sudoku se puede consultar aquí y aquí.

Los comentarios están cerrados.