1.- Cuadrados Esotéricos de orden impar
En caso de cuadrados mágicos aritméticos esotéricos de orden impar es posible de construir dichos cuadrados si se sigue el procedimiento indicado abajo. Primero sobre una diagonal colocamos los números siguiendo la secuencia natural hasta tener la diagonal completa con el orden del cuadrado impar deseado, avanzamos a la diagonal inferior y así hasta completar un rombo como el mostrado en la figura inferior.
7 | ||||||||||||
6 | 14 | |||||||||||
5 | 13 | 21 | ||||||||||
4 | 12 | 20 | 28 | |||||||||
3 | 11 | 19 | 27 | 35 | ||||||||
2 | 10 | 18 | 26 | 34 | 42 | |||||||
1 | 9 | 17 | 25 | 33 | 41 | 49 | ||||||
8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | |||||||
15 | 23 | 31 | 39 | 47 | ||||||||
22 | 30 | 38 | 46 | |||||||||
29 | 37 | 45 | ||||||||||
36 | 44 | |||||||||||
43 |
A partir del número central del rombo definimos los lados del cuadrado resultando una figura como la indicada abajo:
7 | ||||||||||||
6 | 14 | |||||||||||
5 | 13 | 21 | ||||||||||
4 | 12 | 20 | 28 | |||||||||
3 | 11 | 19 | 27 | 35 | ||||||||
2 | 10 | 18 | 26 | 34 | 42 | |||||||
1 | 9 | 17 | 25 | 33 | 41 | 49 | ||||||
8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | |||||||
15 | 23 | 31 | 39 | 47 | ||||||||
22 | 30 | 38 | 46 | |||||||||
29 | 37 | 45 | ||||||||||
36 | 44 | |||||||||||
43 |
Las celdas donde faltan números se rellenan con los datos de los triángulos opuestos fuera del cuadrado, el resultado es el cuadrado mágico buscado.
4 | 29 | 12 | 37 | 20 | 45 | 28 | ||||||
35 | 11 | 36 | 19 | 44 | 27 | 3 | ||||||
10 | 42 | 18 | 43 | 26 | 2 | 34 | ||||||
41 | 17 | 49 | 25 | 1 | 33 | 9 | ||||||
16 | 48 | 24 | 7 | 32 | 8 | 40 | ||||||
47 | 23 | 6 | 31 | 14 | 39 | 15 | ||||||
22 | 5 | 30 | 13 | 38 | 21 | 46 |
2.- Cuadrados Esotéricos de orden par, múltiplos de cuatro
Construimos el cuadrado (múltiplo de cuatro) siguiendo las secuencia natural y subdividimos el mismo en cuadrados de cuatro por cuatro (4×4), a cada cuadrado marcamos los números ubicados en las dos diagonales principales de cada subcuadrado.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |
49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 |
73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 |
85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 |
97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 |
109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 |
121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 |
133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 |
Construimos el mismo cuadrado y realizamos los mismos pasos, pero ahora se secuencia de números es a la inversa.
144 | 143 | 142 | 141 | 140 | 139 | 138 | 137 | 136 | 135 | 134 | 133 |
132 | 131 | 130 | 129 | 128 | 127 | 126 | 125 | 124 | 123 | 122 | 121 |
120 | 119 | 118 | 117 | 116 | 115 | 114 | 113 | 112 | 111 | 110 | 109 |
108 | 107 | 106 | 105 | 104 | 103 | 102 | 101 | 100 | 99 | 98 | 97 |
96 | 95 | 94 | 93 | 92 | 91 | 90 | 89 | 88 | 87 | 86 | 85 |
84 | 83 | 82 | 81 | 80 | 79 | 78 | 77 | 76 | 75 | 74 | 73 |
72 | 71 | 70 | 69 | 68 | 67 | 66 | 65 | 64 | 63 | 62 | 61 |
60 | 59 | 58 | 57 | 56 | 55 | 54 | 53 | 52 | 51 | 50 | 49 |
48 | 47 | 46 | 45 | 44 | 43 | 42 | 41 | 40 | 39 | 38 | 37 |
36 | 35 | 34 | 33 | 32 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 |
24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 |
12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
El cuadrado mágico resulta al combinar ambos cuadrados, seleccionando las celdas en las diagonales marcadas del primer cuadrado con las celdas no ubicadas en las diagonales marcadas del segundo.
1 | 143 | 142 | 4 | 5 | 139 | 138 | 8 | 9 | 135 | 134 | 12 |
132 | 14 | 15 | 129 | 128 | 18 | 19 | 125 | 124 | 22 | 23 | 121 |
120 | 26 | 27 | 117 | 116 | 30 | 31 | 113 | 112 | 34 | 35 | 109 |
37 | 107 | 106 | 40 | 41 | 103 | 102 | 44 | 45 | 99 | 98 | 48 |
49 | 95 | 94 | 52 | 53 | 91 | 90 | 56 | 57 | 87 | 86 | 60 |
84 | 62 | 63 | 81 | 80 | 66 | 67 | 77 | 76 | 70 | 71 | 73 |
72 | 74 | 75 | 69 | 68 | 78 | 79 | 65 | 64 | 82 | 83 | 61 |
85 | 59 | 58 | 88 | 89 | 55 | 54 | 92 | 93 | 51 | 50 | 96 |
97 | 47 | 46 | 100 | 101 | 43 | 42 | 104 | 105 | 39 | 38 | 108 |
36 | 110 | 111 | 33 | 32 | 114 | 115 | 29 | 28 | 118 | 119 | 25 |
24 | 122 | 123 | 21 | 20 | 126 | 127 | 17 | 16 | 130 | 131 | 13 |
133 | 11 | 10 | 136 | 137 | 7 | 6 | 140 | 141 | 3 | 2 | 144 |
Para construir cuadrados esotéricos de orden par, no múltiplos de cuatro, no existe una regla simple, pero puede revisar aquí y aquí para ver como se fabrican.