Los Cuadrados Mágicos (4) Construyendo Cuadrados Mágicos Aritméticos Esotéricos

1.- Cuadrados Esotéricos de orden impar

En caso de cuadrados mágicos aritméticos esotéricos de orden impar es posible de construir dichos cuadrados si se sigue el procedimiento indicado abajo. Primero sobre una diagonal colocamos los números siguiendo la secuencia natural hasta tener la diagonal completa con el orden del cuadrado impar deseado, avanzamos a la diagonal inferior y así hasta completar un rombo como el mostrado en la figura inferior.

7
6 14
5 13 21
4 12 20 28
3 11 19 27 35
2 10 18 26 34 42
1 9 17 25 33 41 49
8 16 24 32 40 48
15 23 31 39 47
22 30 38 46
29 37 45
36 44
43

A partir del número central del rombo definimos los lados del cuadrado resultando una figura como la indicada abajo:

7
6 14
5 13 21
4 12 20 28
3 11 19 27 35
2 10 18 26 34 42
1 9 17 25 33 41 49
8 16 24 32 40 48
15 23 31 39 47
22 30 38 46
29 37 45
36 44
43

Las celdas donde faltan números se rellenan con los datos de los triángulos opuestos fuera del cuadrado, el resultado es el cuadrado mágico buscado.

4 29 12 37 20 45 28
35 11 36 19 44 27 3
10 42 18 43 26 2 34
41 17 49 25 1 33 9
16 48 24 7 32 8 40
47 23 6 31 14 39 15
22 5 30 13 38 21 46

2.- Cuadrados Esotéricos de orden par, múltiplos de cuatro

Construimos el cuadrado (múltiplo de cuatro) siguiendo las secuencia natural y subdividimos el mismo en cuadrados de cuatro por cuatro (4×4), a cada cuadrado marcamos los números ubicados en las dos diagonales principales de cada subcuadrado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144

Construimos el mismo cuadrado y realizamos los mismos pasos, pero ahora se secuencia de números es a la inversa.

144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133
132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121
120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109
108 107 106 105 104 103 102 101 100 99 98 97
96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85
84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73
72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61
60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49
48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25
24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

El cuadrado mágico resulta al combinar ambos cuadrados, seleccionando las celdas en las diagonales marcadas del primer cuadrado con las celdas no ubicadas en las diagonales marcadas del segundo.

1 143 142 4 5 139 138 8 9 135 134 12
132 14 15 129 128 18 19 125 124 22 23 121
120 26 27 117 116 30 31 113 112 34 35 109
37 107 106 40 41 103 102 44 45 99 98 48
49 95 94 52 53 91 90 56 57 87 86 60
84 62 63 81 80 66 67 77 76 70 71 73
72 74 75 69 68 78 79 65 64 82 83 61
85 59 58 88 89 55 54 92 93 51 50 96
97 47 46 100 101 43 42 104 105 39 38 108
36 110 111 33 32 114 115 29 28 118 119 25
24 122 123 21 20 126 127 17 16 130 131 13
133 11 10 136 137 7 6 140 141 3 2 144

Para construir cuadrados esotéricos de orden par, no múltiplos de cuatro, no existe una regla simple, pero puede revisar aquí y aquí para ver como se fabrican.

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