Los números – Naturaleza, alegorías y más (Cuarta Parte)

Otros números notables

Las cantidades enteras han sido fuente de mucha imaginación, se les han atribuido propiedades y significados que a ciencia cierta poco tienen que ver con la realidad; son para ojos modernos cantidades cuyo significado obedece más a consideraciones poéticas, que a razones tangibles o concretas. Pero desde la antigüedad a la modernidad han aparecido otros números que han maravillado tanto a matemáticos, filósofos, ingenieros, artistas, y a hombres comunes.

De la geometría y de uno de sus teoremas más antiguos (el Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a cuadrado de la hipotenusa del triángulo) derivarían conceptos como la irracionalidad de una cantidad (cantidad que no puede ser expresada como una razón (división) entre dos cantidades enteras) y que en su momento fue para sus descubridores toda una revelación, cambiando la idea del absoluto en una cantidad que se tenía hasta ese entonces. No nos adentraremos en esas complejidades matemáticas, pero si señalaremos algunas de sus consecuencias.

√2 (raíz cuadrada de 2); la longitud de la diagonal del cuadrado unitario
El descubrimiento de las cantidades irracionales le costó la vida a su creador, el pitagórico Hípaso de Metaponto, quien justamente buscaba la razón entre enteros que mide la diagonal de un cuadrado unitario (2). Por su descubrimiento, o por revelar este descubrimiento, se dice que sus compañeros lo sentenciaron a la expulsión (otros lo condenaron a que se suicidara), y Hípaso según crónicas murió ahogado en el mar de forma misteriosa (accidente, suicidio, asesinato, sigue como otro de los tantos misterios de la antigüedad).

Hoy sin embargo a esta cantidad se le conoce también como la Constante de Pitágoras, y se tiene que 2 = 21/2 = 1,414…; y es una cantidad irracional algebraica (surge de la solución de una ecuación de la forma ∑anxn=0; donde los valores de ‘x’, reales o complejos, que satisfacen la ecuación se conocen como raíces, y la solución positiva de: x2-2=0 es √2.

Entre las propiedades más importantes de esta cantidad tenemos: √2/2 = 1/√2.

Por otra parte usando el binomio conjugado (√2+1)(√2-1)=1 es posible obtener la fracción continua de la √2, la cual establece que al tener infinitos términos se trata de un número irracional.

La raíz cuadrada de dos (√2) también se relaciona con la proporción plateada o número de plata por la relación

 
√3 (raíz cuadrada de 3); la longitud de la diagonal del cubo unitario
  La raíz cuadrada de tres (3) representa a tres valores importantes en geometría; por un lado es la diagonal del cubo unitario; en segundo lugar es la altura de un triángulo equilátero de lado dos; y finalmente es la distancia entre las caras opuestas de un hexágono inscrito en un circulo de radio unitario.Se le conoce al número con el nombre de Constante de Teodoro; en honor a Teodoro de Cirene (nacido en Libia, pero habitante de Atenas) y quien probó la irracionalidad de las raíces cuadráticas de los números del 2 al 17 (exceptuando por supuesto 4, 9 y 16 cuyas raíces son enteras).

La raíz de tres  tiene un valor aproximado de √3 = 31/2 =1,732…; y por Teorema de Pitágoras se relaciona con la raíz de dos con la forma: (√2)2 + 12 = (√3)2.

Y como fracción continua toma la expresión:

√5 (raíz cuadrada de 5); la longitud de la diagonal del rectángulo de 2×1
La raíz cuadrada de cinco es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados dos y uno. También por Teorema de Pitágoras se relaciona con las raíces cuadradas de dos y de tres.

(√5)2 = 22+12 = (√2)2 +(√3)2

Su valor es √5 = 51/2 = 2,236…; y esta cantidad aparece dentro del número áureo o proporción dorada ), así como en figuras como los pentágonos y los dodecaedros, y de ahí su importancia.

Como fracción continua vale:

 
φ (phi), el número áureo (de oro)
  El número áureo, también llamado proporción dorada, y otros nombres similares es identificado por la letra griega φ (phi), en honor al escultor griego Fidias. Suele estar vinculado a una proporción para medir relaciones de belleza y que aparece con frecuencia también en la naturaleza.

La proporción dorada es una cantidad definida como: dado dos segmentos de rectas a (más largo) y b (más corto); la razón de a/b es igual a la razón de la suma de ambos segmentos entre el segmento más largo (a+b)/a; sea φ=a/b entonces se obtiene una cantidad cuya irracionalidad fue encontrada por el matemático griego Euclides en el siglo III a.C., y cuyo valor es: φ = (1+√5)/2 = 1,618…

Entre sus propiedades matemáticas tenemos que es el único real positivo donde se cumple que las cantidades decimales son iguales para:

φ-1 = 1/φ = φ-1 = 0,618

φ = φ+0 = 1,618…

φ2φ+1 = 2,618…

Pero además se observa que:

φ3 = 2φ+1 = 4,236…

φ4 = 3φ+2 = 6,854…

φ5 = 5φ+3 = 11,090…

φ6 = 8φ+5 = 17,944…

Y se puede ver que cualquier potencia de φ es igual a la forma (anφ+bn); donde: an=an-1+an-2 y bn=bn-1+bn-2; esto es que los coeficientes siguen la Secuencia de Fibonacci, cada número en la secuencia es la suma de los dos anteriores.

La relación entre el número áureo y la Secuencia de Fibonacci no termina ahí; sino que al dividir dos números consecutivos de la secuencia, el cociente se aproxima al valor de número áureo en el infinito; esta propiedad fue descubierta por el alemán Johannes Kepler, pero demostrada cien años después por el inglés Robert Simson.

Basado en la relación para φ-1=φ-1 es posible desarrollar su forma de fracción continua:La mayoría de las publicaciones escritas, revistas, periódicos, cuadernos, pósteres, etc.) tienen forma de un rectángulo áureo (lados tienen relación 1:1,6…) a fin de hacerlos estéticos (agradables a la vista) para el observador.

δAg (el número de plata), buscando la proporción perfecta para el dinero.
Si bien el número de plata, o razón plateada se conoce desde antigüedad, no fue hasta hace poco que se le puso este nombre por su relación (similitud) con la razón dorada.

En principio dado dos segmentos ab; existe una razón plateada δAg (también denotada ψ) entre ambos cuando a/b es igual a (2a+b)/a; y donde resulta que

δAg = 1+√2 = 2,414…

Entre las propiedades de esta razón tenemos la cantidad y su inversa comparten los mismos números decimales:

δAg-1 = δAg – 2 = 0,414…

Por otra parte se tiene que:

δAg = δAg + 0 = 2,414…

δAg2 = 2δAg + 1 = 5,828…

δAg3 = 5δAg + 2 = 14,071…

δAg4 = 12δAg + 5 = 33,978…

δAg5 = 29δAg + 12 = 82,012…

Al igual que la razón dorada se vincula a la Sucesión de Fibonacci, la razón plateada se asocia a la Sucesión de Pell, donde el número que sigue en la secuencia es la suma del doble del anterior y el antepenúltimo.

Su forma de fracción continua:La proporción plateada aparece en el rectángulo plateado (de lados 1 y 2,4…) y que se usa para de la mayoría de los billetes, dando mayor significado al termino ‘plata’.

Tanto la proporción dorada (n=1), como la proporción plateada (n=2) son considerados casos particulares de las llamadas proporciones metálicas; que cumplen con la siguiente forma:

 
π (pi), la razón entre la circunferencia y el diámetro de un circulo
  π (pi) es la razón entre la longitud dela circunferencia y el diámetro de un circulo; también es igual al valor del área de un circulo de radio unitario. La cantidad π (pi) aparece en la geometría en donde existen círculos, esferas, elipses, elipsoides y otras figuras generadas por rotación alrededor de un eje.

Modernamente también se tiene que el área de la campana de probabilidad de Gauss vale √π; y la solución al problema de Basilea, planteado por Leonhard Euler sobre el límite de la suma infinita de los inversos de los enteros al cuadrado (∑(1/n2)) tuvo respuesta un siglo después por Bernhard Riemann quien definida la función Zeta como ζ(x)=Σ(1/nx); se tiene que evaluada en numero entero par es un cantidad que depende de π (pi); así por ejemplo: ζ(2)=π2/6; ζ(4)=π4/90; ζ(6)=π6/945; cabe señalar que 6/π2 mide además la probabilidad de que seleccionados al azar dos números enteros, estos sean números co-primos (su único divisor común es la unidad).

El uso de la letra griega π (pi) para denotar esta cantidad deriva justamente de indicar ‘perímetro‘ y fue introducido en el siglo XVII por William Oughtred, el uso fue propuesto por William Jones a inicios del siglo XVIII, pero fue Leonhard Euler quien a mitad de ese siglo la popularizó.

La cuantificación de π (pi) fue punto de particular interés a lo largo de la historia; los hebreos asignaban a esta cantidad el valor de tres (3). Entre los babilonios era igual a tres más un octavo (3+1/8 = 25/8 = 3,125); y los antiguos egipcios señalaban de similar forma que el área de un circulo era igual al área de un cuadrado de lado 8/9 el diámetro del circulo, esto es que valía 256/81 = 3,160.

Correspondería al griego Arquímedes demostrar que π (pi) era una cantidad irracional, y por un análisis algorítmico encontrar que este valor se encuentra entre 223/71 = 3,141  < π < 22/7  = 3,143; siendo por mucho tiempo el rango superior aceptado como el mejor valor para este número; también por ello esta cantidad (22/7) se conoce como Constante de Arquímedes.

Hubo que esperar al análisis del cálculo moderno para encontrar métodos analíticos lejos de los intentos geométricos para cuantificar el valor; así el valor de π (pi) quedaría en 3,141592…

Surgirían luego varios desarrollos en series infinitas, y la forma de fracción continua muestra que no es una cantidad regular, por tanto π (pi) además de irracional es transcendental (no solución de una ecuación algebraica).

Pese a ello se han encontrado varias fracciones continuas generalizadas que llevan a π (pi); entre ellas: 

Hoy la potencia de las computadoras han permitido calcular hasta más de un billón de decimales de π (pi), convirtiendo a esta cantidad en el número irracional con más decimales conocidos; pero para efectos prácticos en ingeniería bastan seis y en física moderna no más de doce decimales.

e (el número de Euler), la base de los logaritmos naturales
El numero e es una cantidad relativamente moderna; surge del cálculo, y se asoma su presencia a inicios del siglo XVII cuando el matemático escocés John Napier definió a los logaritmos. A mitad de ese siglo se calcula el área bajo la curva y=1/x; partiendo de x=1 hasta encontrar un valor de x tal que el área sea la unidad; ese valor resultó ser el numero e, pero aún no se veía la relación con los logaritmos.

A finales de ese siglo es cuando el numero e aparece formalmente y en una rama distinta al calculo. Jacob Bernoulli buscaba el valor del interés compuesto, que es lo que gana un capital inicial a una taza de interés dada durante una serie de intervalos de tiempos de imposición. Cuando la tasa de interés es 100% y la cantidad de intervalos se vuelve muy grande, Bernoulli encontró que aparecía un limite superior en la ganancia, una cantidad que estaba entre 2 y 3.

Para inicio del siglo XVIII se encontró la relación entre el área bajo la curva y=1/x y los logaritmos, a partir de este momento se hizo evidente que el número e era la base más sencilla para calcular los logaritmos de cualquier otro número como base. Para ese entonces la cantidad era identificada con distintas letras, pero a inicios de ese siglo se impuso la letra “e”, usada por el matemático Leonhard Euler; por ello es también conocido como el Número de Euler.

Los desarrollos en serie permitieron no sólo calcular la función logaritmo natural y su opuesta, la función exponencial, sino que se pudo determinar que el valor del número e = 2,718…

A diferencia de π (pi) los matemáticos no fueron tan entusiastas en encontrar los distintos decimales del número e. Su forma en fracción continua confirmaba no sólo su irracionalidad, sino que era además transcendental.

Siendo otra forma de fracción continua generalizada la siguiente:

 
i (el número imaginario), la raíz cuadrada negativa
  Dentro de los números reales la ecuación x2+1=0, no tiene solución dado que la respuesta sería ±√-1. En 1777 el matemático Leonhard Euler denotó a esta cantidad con la letra “i”, llamándola de forma despectiva imaginaria. En un primer momento se le trató como cualquier otra cantidad en el álgebra; salvo que i2 = -1.

Cuando se asoció al imaginario con una rotación de 90° del eje real, es cuando surgió lo que se conoce como el plano complejo; donde un par de números reales (x,y) definen a cualquier punto “z” (cantidad compleja) en dicho plano. Por trigonometría el punto z podía ser escrito también en forma polar como:

Cuando se desarrolló el calculo y los desarrollos de serie, surgió la expresión conocida como Formula de Euler.

Lo que permitió definir al punto “z” como una función exponencial imaginaria.

Evaluando la expresión en 180° (π radianes) es cuando aparece una de las formulas más bellas y famosas de las matemáticas, la conocida Identidad de Euler.

Entre las curiosidades de esta cantidad tenemos:

Para el siglo XIX con el estudio de las corrientes eléctricas alternas, los números complejos se convirtieron en una herramienta valiosa para estudiar y manejar estas corrientes, para entonces “i” había dejado de ser algo imaginario e inexistente para pasar a tener dentro del mundo real una gran importancia y presencia física tangible.

A finales de ese mismo siglo William Rowan Hamilton extendió la idea de rotación del imaginario a un espacio de tres dimensiones; y fue su respuesta a como multiplicar y dividir coordenadas en el espacio tridimensional lo que dio origen a los números cuaterniones y donde se cumple la identidad:

Aunque en su tiempo el manejo de los cuaterniones fue eclipsado por el desarrollo del álgebra vectorial, hoy su uso ha sido revitalizado dentro del mundo informático y la programación.

∞ (el infinito), la cantidad inalcanzable
El infinito es por definición una cantidad sin limite superior. Pero este concepto (el de infinito) abarca muchos otros aspectos distintos, por ejemplo los infinitos decimales de 1/3 = 0,333…; ello provocó problemas entre muchos matemáticos (y filósofos), sobre qué es el infinito.

El matemático ingles John Wallis, a mitad del siglo XVII, introduce el símbolo del infinito como un ocho girado en ángulo recto, (∞), la figura hace referencia al mítico uróboros, la serpiente que se devora a si misma por toda la eternidad, o a la curva analema que describe la posición del Sol a una misma hora durante todo el año, y es similar a la curva geométrica lemniscata, que es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las distancias a dos focos es constante.

La forma más simple de infinito tiene que ver con el contar o numerar algo. Por ejemplo podemos ‘contar’ el número de hijos de una mujer; igual podemos contar la cantidad de estrellas del universo (una cantidad muy grande en si, pero finita en verdad).

La teoría de conjuntos estableció que una cantidad no tiene limite si dentro de un conjunto hay un subconjunto de elementos donde existe una relación biyectiva (uno a uno) entre ambos conjuntos, entonces ambos son infinitos en cantidad de elementos.

Por ejemplo, dentro del conjunto de los enteros existen el conjunto de los números pares; para cada numero par se puede asignar un número entero que representa su orden; así el primer par es dos, el segundo par es cuatro, el tercer par es seis, …, en n-enesimo par es el doble de n; y así se puede continuar indefinidamente, por tanto ambos conjuntos (enteros y números pares) son infinitos en elementos que contienen.

A fines del siglo XIX Georg Cantor complicaría la definición de numerar los elementos de un conjunto al señalar que podían haber conjuntos que aunque infinitos en miembros eran a su vez incontables; esto es que no existían suficientes enteros para contar sus elementos; surgían así varios ordenes (tamaños) para los infinitos.

Por ejemplo se pueden contar todas (las infinitas) las soluciones de las ecuaciones algebraicas que dan números irracionales, pero existen los irracionales transcendentes, cuyo número es desconocido, por ello el conjunto de los irracionales no puede ser numerado, y por extensión el conjunto de los números reales; esto es que ambos conjuntos (irracionales y reales) son infinitos e incontables.

Fuera de estas discusiones el infinito (lo interminable) guarda estrecha relación con su opuesto la nada (el cero).

No existen algunas relaciones, siendo estas cantidades indeterminadas, y sus resultados dependen muchas veces de los límites que llevan a estas entidades.

 
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Los juegos de carreras sencillos (La Familia del Juego de la Oca)

Los juegos de carreras han tenido gran presencia desde la antigüedad. En estos juegos uno o más peones por jugador recorren un camino, el número de pasos a moverse en el camino que suele ser determinado por dados u otros elementos como varillas, monedas o conchas, que según las cantidad de caras o sellos que salgan indican la cantidad de pasos a avanzar. Suele ganar aquel jugador que llegue primero con todos sus peones a la meta.

   
 

En muchos de estos juegos se agregan en el camino la presencia de casillas con propiedades especiales (trampas, saltos adelante, retrocesos, casillas protegidas, …) en el tablero, así como la posibilidad de capturas, de bloqueos a rivales, u otros elementos que le agreguen variedad y algún sabor extra a estos juegos donde la suerte marca gran parte de la estrategia.

Los juegos de carreras suelen ser clasificados según el grado de suerte y de habilidad (estrategia) del jugador en las siguientes categorías:

  1. Los Juegos de carreras sencillos: se caracterizan por depender principalmente de la suerte; por lo general cada jugador sólo mueve una pieza los puntos marcados por los dados, y el avance depende sólo del azar. Ejemplos básicos de estos juegos son: El Juego de la Oca, de quien derivan la mayoría de los juegos de carreras simples en occidente; y su versión oriental de Serpientes y Escaleras procedente de India. También los juegos Tab de África y Cercano Oriente, el juego Mehen del antiguo Egipto, o el moderno el juego de la Hiena entran en esta categoría, o versiones modernas como CandyLand o Tío Wiggily forman parte de este amplio grupo, principalmente destinado a niños pequeños.
  2. Los Juegos de carreras complejos: en ellos se combinan suerte y habilidad. Los jugadores tienen más de una pieza a mover y así las opciones de movimiento permiten a un jugador ubicar sus peones en posiciones ventajosas. Los ejemplos occidentales más comunes son el Ludo y el Parchís; pero en algunos juegos se logra aumentar en gran medida el papel de la estrategia, al tiempo que conserva el elemento de azar; siendo el Backgammon el más conocido representante de esta categoría; juegos antiguos como el Senet egipcio, o el Real Juego de Ur de la antigua Mesopotamia también entran en este grupo.
  3. Los Juegos de carreras de estratégica: eliminan (o hacen trivial) el elemento de azar; ejemplos de ello son Bantú; un juego inventado en la segunda mitad del siglo XX y donde los peones se mueve por una serie de carriles según los valores que tienen los mismos peones; se aclara que este juego nunca despego; y la falta del azar lo hace extraño a los jugadores y por ello es raro encontrar juegos con este tipo de nivel.

Existen algunos juegos donde también hay que mover piezas en un tablero haciendo uso de dados o no, pero no se clasifican formalmente como juegos de carreras por no tener ese carácter lineal en el camino, o tener condiciones distintas a la de alcanzar una meta; ejemplos de estos serían: Monopolio, cuyo objetivo es alcanzar cierta cantidad de puntos (activos), más que recorrer un camino y llegar a una meta; o las Damas Chinas, que si bien tiene una meta, no hay una linealidad en los recorridos.

El juego de la Oca

El juego de la Oca es el uno de los más tradicionales y antiguos juegos de mesa y de carreras de Europa, su estructura de juego ha servido de inspiración a muchos otros juegos famosos tales como Candy Land (La tierra de los dulces) o Tío Wiggily, estos dos más propios del mercado norteamericano, donde son considerados clásicos juegos de mesa para niños.

   
   

Todos estos juegos tienen como característica principal que cada jugador (pueden jugar de dos hasta seis, o más si la mesa donde se juega lo permite, lo normal son cuatro) mueven en el tablero un único peón o ficha, que avanza por el camino marcado un número de casillas que depende de los puntos marcados por uno o dos dados. Durante su viaje por el camino los peones pueden caer en casillas especiales que les permiten avanzar o retroceder, según sea el caso, y gana aquel jugador que logre alcanzar primero la casilla de meta, casilla donde generalmente se entra con puntos exactos.

El origen de el juego de la Oca sigue siendo hoy punto de discusión entre los seguidores del juego; algunos lo consideran tan antiguo que se remonta a 3000 a.C. y tiene inspiración en el viejo juego egipcio de Mehen (enrollado); otros que es de cerca del 2000 a.C., apoyándose esta teoría en la existencia del disco de Festos, un plato de arcilla grabado en espiral por ambos lados que fue encontrado a inicios del siglo XX y que es anterior a las civilizaciones minoicas y cretences. Hoy muchos asumen que podría (el disco) ser un tablero de juegos que recrearía al asedio de los griegos a Troya, o el Laberinto Cretense donde los jugadores tratan de escapar del Minotauro.

Otros afirman el origen de el juego de la Oca en la época de los templarios, y en España se vincula a los logros de Alfonso I el Batallador (rey de Aragón) allá el siglo XII d.C.; aunque hay quienes señalan que se inspira en la travesía que hacían los peregrinos por el Camino de Santiago, dando a este juego un origen ibérico, y una connotación que el juego siempre ha tenido (estar asociado a un proceso alquímico y de crecimiento espiritual).

Los más apoyan la tesis de un juego italiano surgido en la corte de los Médici (Florencia) a fines del siglo XIV y de este lugar se difundió entre las cortes de Europa y de ahí a toda la sociedad. Para el siglo XVII se había convertido en un importante juego de azar y apuestas, donde en España, Francia, Italia y los Países Bajos se jugaban altas sumas de dinero en las mesas de juego. No fue hasta el siglo XIX que el juego paso a convertirse en un inofensivo juego de mesa tradicional para niños, pero aún manteniendo su significado alquímico.

Dado los siglos de evolución, las reglas varían de un lugar a otro, pero las casillas especiales y su simbolismo se han mantenido en general uniformes. En un principio hubo 64 (8×8), igual al número de casillas del tablero de Ajedrez occidental moderno, pero hoy modernamente es el valor de 63 (7×9) el que aparece representado, habiendo el 64 desaparecido de los tableros modernos. La reducción de 64 a 63 es resultado de que en los primeros tableros sólo se enumeraban del 1 al 63 pasando el 63 a representar el número mágico (canónico) del juego, mientras que el 64 era el espacio central del tablero (donde estaba dibujado el jardín (del Edén)), que no se enumeraba y simplemente dejo de tener presencia, ya que se entraba al jardín al alcanzar la casilla 63 (la puerta del jardín). Eso no impidió, sin embargo, que en otros lugares y tiempos hubieran diseños de tableros con más o menos casillas.

El simbolismo del 64 = 6+4 = 10 = 1+0 = 1 es por su reducción a uno visto como el inicio (re-inicio) de todo en algunas culturas, dado que el uno es el origen de todo. Por otra parte el 63 resultado del producto de 7 y 9 marca con el siete a la divinidad y el conocimiento, mientras que nueve es la imaginación y el volver a iniciar; el producto 7×9=63 señala que hay siete ciclos marcados cada uno con nueve pruebas a superar, así en ambos casos la idea es alcanzar un grado de sabiduría para poder avanzar a una nueva etapa de crecimiento.

El número nueve (9) y sus múltiplos aparece repetidas veces en el tablero marcado con la imagen de una oca, de ahí el nombre del juego. En principio hay una serie de ocas (gansos) ubicados dentro del tablero en casillas separadas entre si cada cuatro y cinco posiciones, pero en realidad se trata de dos secuencias separadas; la primera inicia en 5 y se le suman múltiplos de nueve posteriormente (5, 14, 23, 32, 41, 50 y 59), la segunda inicia en nueve y le siguen sus múltiplos (9, 18, 27, 36, 45, 54 y 63). Como dato importante los números de la primera serie siempre reducen a cinco (0+5 = 1+4 = 2+3 = …), y la segunda serie reduce a nueve (0+9 = 1+8 = 2+7 = …); así en cada secuencia hay siete ocas separadas entre si nueve casillas; la duplicidad que implican los dos ciclos marcan por un lado el conocimiento sobre lo material, por el otro es aprender sobre lo divino.

El significado de estas dos series de ocas puede ser punto de discusión, pero muchos ven en ella a dos ocas (una pareja) que va avanzando dentro del tablero. Las ocas y otros parientes, como los gansos y cisnes, son vistos en muchas mitologías como símbolos del amor; así el llegar a la ultima casilla (63/64) que representa al jardín, es de alguna forma volver a entrar en el jardín del Edén; otros ven en la pareja a Zeus y Hera, y su boda en el jardín de las Hesperides, y se puede seguir nombrando ejemplos vinculados.

Las dos series de ocas son dos espirales que forman o describen, mismas que se asemejan a un laberinto, indicando lo intrincado del amor, aunque las dos espirales recuerdan modernamente a nuestra secuencia de ADN. De igual forma los números de cada secuencia de ocas tienen significados propios. El cinco, es la suma del primer par (2, lo femenino) y el primer impar (3, lo masculino), es el número del matrimonio, de la magia, representa lo material y lo divino; por otra parte el nueve es tres veces la trinidad, pero también es el último número (final de algo) antes de iniciar de nuevo (inicio de la nueva decena), vinculado a la renovación, la imaginación y las posibilidades. [Se aclara que algunas versiones del juego sólo aparece una serie, la secuencia de los múltiplos del nueve].

La oca por otra parte esta vinculada a muchos significados propios, además de la idea de amor antes mencionada; su color blanco lo vincula a la pureza; por vivir en el agua y emigrar siguiendo al sol, son seres que se mueven o vinculan con los cuatro elementos, agua (nada), aire (vuela), tierra (reproduce) y fuego (sigue al sol). Entre los egipcios el dios Geb, señor del suelo y la tierra es representado con una oca, Geb era para este pueblo el sostén del mundo, símbolo de vida y fecundidad. El huevo cósmico es también asociado a una de estas aves.

A estas catorce casillas marcadas con una oca, (13+1, la ultima se llama la gran oca, portadora del conocimiento), se incluyen otras nueve casillas especiales; y otros significados son asociados a estas casillas. Tenemos La Posada, marcada con el 19 (1+9=10=1+0=1). En esta casilla perdemos un turno; representa un momento de relajación, descanso y meditación; el 19 es el final de la segunda decena, un nuevo inicio, pero su reducción a la unidad implica también un comienzo.

Las casillas 6 y 12, son Los Puentes, el seis es el número de la perfección, pero también de la armonía, de las relaciones, y el doce son los doce signos del zodiaco, los doce meses del año, es una medida de lo divino; el caer en el seis nos arrastra al doce; pero caer en el doce nos regresa al seis, es un indicativo de que no estamos listos para avanzar al 13.

Las casillas 26 y 53 representan a Los Dados; son, al igual que los puentes, puntos de avance y retroceso entre ellas, de ilusión y desilusión, de fortuna e infortunio, pero en ambas la reducción a ocho (8 = 2+6 = 5+3) se asocia a la justicia, esto es que pese a lo bueno y lo malo del camino, siempre se podrá llegar a la meta.

La casilla 31 es El Pozo; hemos caído al agua y no podemos subir solos hasta que pase otro y nos rescate. Similar ocurre con la casilla 52, La Cárcel; no han detenido y hasta que otro interceda por nosotros no podremos salir y continuar el camino. En ambos casos se representan nuestros pecados, el haber contravenido las normas y ver como otros avanzan sin poder hacer nada; pero en el caso de la cárcel estamos muy cerca del final, hemos vivido nuestros mejores momentos y ahora estamos atrapados.

La casilla 42 es El Laberinto, hemos perdido el camino y por ello debemos retroceder para volvernos a encontrar. Y la casilla 58, La Muerte, hemos sufrido un accidente grave que nos obliga a iniciar todo de nuevo. Por reducción numérica el 58 es 13, (5+8 = 13), siendo este el número de la muerte en el Tarot. Al estar tan cerca de La Meta (La Puerta del Jardín) (63) nos indica la fragilidad de perderlo todo casi al llegar al final; siendo indicativo de lo efímero que puede ser la vida. También sirve para introducir a los niños el concepto de la muerte, 5+8=13; 1+3=4; donde se pierde lo material (el cuatro) pero permanece el espíritu.

Volviendo al juego, lo normal es que el jugador avanza tantas casillas de su posición hasta la que marquen los dados que lanza; [generalmente se usa un dado, pero también se pueden usar dos, salvo que al alcanzar la casilla 60 se usa uno sólo]; pero si cae en algún ganso u oca, o en alguna de estas otras casillas se tienen que seguir las reglas asignadas a cada casilla especial.

En este juego no hay restricciones a la cantidad de peones o fichas en una casilla, esto es se puede ir a una casilla ocupada por otro jugador sin consecuencias para ninguno de ellos en esta acción. Es por ello en algunos juegos se pone como condición que para que un jugador saque su ficha del pozo y la cárcel, otro jugador debe tomar su lugar, claro que si juegan sólo dos el jugador atrapado en alguna de estas casillas puede esperar indefinidamente, por ello a mi parecer me parece más lógica, para niños, la primera opción de las que se muestran abajo, y dado que no hay un criterio valido único, por ello se exponen las siguientes reglas más usuales:

Casilla Opción 1 Opción 2
Marcadas con una oca Se lanzan otra vez los dados Se avanza a la siguiente oca (a)
Casilla 6 (Puente 1) Avanza a la 12 (b)
Casilla 12 (Puente 2) Retrocede a la 6 (b)
Casilla 19 (Posada) Se pierde un turno
Casilla 26 (Dados 1) Avanza a la 53 (b)
Casilla 31 (Pozo) Pierde dos turnos No avanza hasta que pase otro jugador por la casilla (c)
Casilla 42 (Laberinto) Regresa a la casilla 30 (d)
Casilla 52 (Cárcel) Pierde tres turnos No avanza hasta que pase otro jugador por la casilla (c)
Casilla 53 (Dados 2) Retrocede a la 26 (b)
Casilla 58 (La muerte/el zorro) Regresa a la casilla 1
Casilla 63 (El Jardín/La Meta) Se entra con puntos exactos, de lo contrario se retrocede tantas casillas como puntos extra sobren en el lanzamiento.
Notas:
(a) En algunos juegos se avanza o retrocede dependiendo de donde mira la oca.
(b) En algunos juegos se permite volver a lanzar los dados.
(c) En algunos juegos el jugador no puede salir de esta casilla hasta que otro caiga en ella.
(d) En algunos juegos se regresa a la casilla 39, esto es retroceder tres casillas.

Serpientes y Escaleras

Moksha Patam o Mokshapat (la escalera de la salvación), también llamado Vaikunthapali (regresar) Paramapada (obra maestra) Sopana Patam (escalera de los sueños), Saanp aur Seedhi o Saanp Seedhi(serpientes y escaleras); era un popular juego en la India antigua, que formaba parte de la familia de juegos de mesa, de carreras y dados, entre los que se incluye el Chaupar y el Pachisi, antepasados directos de nuestros tradicionales Ludo y Parchís occidentales.

   
   

Dentro de la filosofía hindú tradicional importan el karma y el kama (el destino y el deseo); el Moksha Patam hacia énfasis en el concepto del karma; mientras que juegos como el Pachisi, donde intervenía el azar y las habilidades del jugador (cada jugador mueve más de un peón o ficha) se describía a la vida como una mezcla de habilidades (libre albedrío) y de suerte. En el juego original hindú el tablero normal es de 10×10 (100 casillas), habían unas seis virtudes, enlazadas con tres escaleras; mientras que los vicios eran unos doce, esto es unas seis serpientes.

Las escaleras representaban virtudes como: Fe (12), Confiabilidad (51), Generosidad (57), Conocimiento (76) y Ascetismo (78), mientras que las serpientes representaban vicios como Desobediencia (41), Vanidad (44), Vulgaridad (49), Robo (52), Mentir (58), Embriaguez (62), Deuda (69), Asesinato (73), Rabia ( 84), Avaricia (92), Orgullo (95) y Lujuria (99). La lección de moralidad del juego era que una persona puede alcanzar la salvación (Moksha) haciendo el bien, mientras que al hacer el mal uno retrocederá en los niveles (espacios) de vida. El número de escaleras era menor que el número de serpientes como un recordatorio de que un camino de bien es mucho más difícil de recorrer que un camino de pecados. Presumiblemente, llegar al último cuadrado (número 100) representa el logro de Moksha (liberación espiritual).

Los ideales subyacentes del juego inspiraron una versión introducida en la Inglaterra victoriana en 1892 y que se vendió como Serpientes y Escaleras. El juego también fue utilizado como una herramienta para enseñar los efectos de las buenas acciones versus las malas. Las virtudes y los vicios hindues fueron reemplazados con aspectos de la moralidad victoriana inglesa. Las escaleras enlazaban virtudes como: el Ahorro, la Penitencia y el Trabajo con el Cumplir, el Perdón y el Éxito; mientras que las serpientes: la Indulgencia, la Desobediencia y la Indolencia causaban que uno terminara con: la Enfermedad, la Deshonra y la Pobreza. La contraparte inglesa fue más indulgente con la proporción entre escaleras y serpientes; habiendo misma cantidad de ambas; ya que bajo el modelo cultural occidental cristiano por cada pecado que uno comete, existe una oportunidad de redención. La decoración y el arte de los primeros tableros ingleses reflejan la relación del imperio ingles y su dominio colonial de India; pero para la década de 1940 las demandas económicas de la II Guerra Mundial y el colapso del dominio británico en la India hizo que esta iconografía se perdiera; aunque se conservó el contenido de la moralidad asociado.

   
   

El concepto básico se introdujo en los Estados Unidos en 1943 como Trampolines y Escaleras siendo el fabricante Milton Bradley. Las serpientes desaparecieron por el supuesto miedo de los niños a estas criaturas, y el tablero se diseño como el equipo del patio de recreo, que muestra a los niños subiendo escaleras y bajando por rampas descendentes. En esta versión los cuadrados en la parte inferior de las escaleras muestran a un niño haciendo una buena o sensata acción, en la parte superior de la escalera hay una imagen del niño disfrutando de la recompensa; las casillas en la parte superior de las rampas muestran que los niños se involucran en comportamientos traviesos o tontos; en la parte inferior de la rampa, la imagen muestra a los niños que sufren las consecuencias. En 1974 Milton Bradley por primera vez representó en su tablero niños negros. Otros personajes han aparecido en los tablero, incluyendo los de Plaza Sésamo, Dora la exploradora, etc. Actualmente Hasbro es la propietaria del juego en USA.

El juego se da entre dos o más jugadores, en un tablero con casillas numeradas y cuadriculadas. El tamaño de la cuadrícula (más comúnmente 8 × 8, 10 × 10 o 12 × 12) varía. En el tablero se representan varias “escaleras” y “serpientes”, cada una conectando dos cuadros de tablero específicos. Al igual la disposición exacta de las serpientes y las escaleras varia de juego en juego. Ambos factores (tamaño del tablero y cantidad de escaleras y serpientes) afectan la duración del juego.

El objetivo del juego es navegar por el tablero del juego usando un peón o ficha claramente coloreado por jugador. Los peones se mueven de acuerdo con el número de cuadrados indicado en la tirada de un único dado, partiendo desde el inicio (cuadro inferior) hasta el final (cuadro superior), ayudado o impedido por las escaleras y las serpientes, respectivamente. Si el peón de un jugador aterriza en el extremo inferior de una “escalera”, el jugador mueve el peón al cuadrado con el número más alto de la escalera. Si el jugador aterriza en el cuadrado con numeración más alta de una “serpiente” (o canal inclinado), la ficha se debe mover hacia abajo al cuadrado de la serpiente con el número más bajo.

Si un jugador saca un seis (6), el jugador puede, después de moverse, tomar inmediatamente otro turno; de lo contrario, el juego pasa al siguiente jugador por turno.

El jugador que primero lleva su ficha al último cuadro de la pista es el ganador. El cómo alcanzar la meta varia con los distintos fabricantes. Existe una variante donde un jugador debe tirar el número exacto para llegar al cuadrado final; si la tirada del dado es demasiado grande, el peón permanece en su lugar. En otros juegos el jugador se mueve la cantidad de casillas que indica el dado; por ejemplo un jugador esta en la posición 98, necesita un dos para llegar a 100; pero por ejemplo saca un cinco, entonces avanza dos espacios y luego retrocede tres, terminando en la posición 97; esto es más atrás de donde estaba.

Tío Wiggily (Tío Conejo)

El Tío Wiggily Orejas-Largas es el personaje principal de una serie de cuentos infantiles del autor estadounidense Howard R. Garis; quien comenzó a escribir sus aventuras para el diario Newark News en 1910. Garisescribió una historia del Tío Wiggily todos los días (excepto los domingos) durante más de 30 años, y se publicaron 79 libros en vida del autor. El tío Wiggily, es un encantador y anciano conejo, que está cojo por el reumatismo; y donde sea que iba, siempre se acompañaba por una muleta roja, blanca y azul, que recuerda a un palo de caramelo de menta, siendo el adorado conejo sólo uno de los muchos personajes recurrentes de la serie de cuentos.

   
   

En 1916 Milton Bradley Company desarrollo un juego para niños basado en la historia; en un camino algo tortuoso, de idas y venidas, nuestro conejo (un peón de distinto color para cada jugador) recorre el largo camino para llegar a la casa del Dr. Possum (una zarigüeya), medico local que lo atiende por su problema de reumatismo; encontrándose en el camino con varios amigos y otros vecinos, que lo ayudan o retrasan en su cita con el medico. Desde sus primeros diseños en 1916, Milton Bradley Company modificó el juego en 1923, 1949 y 1955. En 1967 Parker Brothers obtuvo los derechos de Tío Wiggily, y hasta 1989, ambas empresas presentaron versiones diferentes del mismo juego durante muchos años. Actualmente Hasbro ahora posee los derechos del juego y ha unificado un poco el diseño. Hoy el Tío Wiggily sigue siendo uno de los primeros y favoritos juegos de la infancia estadounidense.

Durante el siglo de existencia del juego, el tablero ha sido ilustrado varias veces; el número de espacios a moverse, el número de mazos de cartas y el número de cartas han fluctuado a lo largo de los años y con las diversas ediciones publicadas. Los peones han sido producidos tanto en madera, cartón o zinc pintados, como en figuritas de plástico de Tío Wiggily.

El tablero de juego está ilustrado con personajes y escenas de los libros. Se abre y se coloca sobre una superficie plana, y los dos juegos de cartas se barajan de forma independiente, y se colocan al alcance de los jugadores. Cada jugador selecciona uno de los cuatro peones (hubo versiones con seis) y lo coloca en la casa del Tío Wiggily en la esquina inferior izquierda del tablero de juego. El orden de juego está determinado por el azar.

A diferencia de los tradicionales juegos de mesa donde se usan dados, aquí los movimientos de los peones están controlados por dos juegos de cartas (amarillas y rojas) que se barajan al inicio y se ponen sobre el tablero. No hay una estrategia óptima involucrada ya que el juego se basa completamente en un sorteo al azar de las cartas. El primer jugador roba una carta del mazo amarillo. Sigue las instrucciones de la carta (que están en líneas de versos que riman) para avanzar su peón a lo largo de la pista, o, si se le indica, toma una carta del mazo rojo y sigue sus instrucciones. En general, las tarjetas amarillas hacen que el jugador avance un número de espacios o que tome una tarjeta roja, las cartas rojas suelen hacer lo contrario (retroceder). Algunas casillas del juego marcan la posición en el terreno de algún personaje o lugar en el campo que ayudan a avanzar al conejo; o en su mayoría detienen al conejo uno o varios turnos, pero en versiones más modernas sólo lo hacen retroceder algunas casillas. El juego continúa de manera similar hasta que un jugador saca suficientes puntos para llegar (o superar en puntos) la casilla final del camino donde vive el Dr. Possum, generalmente ubicado en la esquina superior derecha del tablero de juego.

Candy Land (La tierra de los dulces)

Este juego nació en 1948 diseñado por Eleanor Abbott, mientras se recuperaba de la polio en un hospital de San Diego, California; siendo los niños de aquellas salas del hospital los primeros en jugar y probar el nuevo juego. Milton Bradley Company compró el juego y fue publicado en 1949, superando en ventas a Tío Wiggly, quien era ahora también vendido por su competidor Parker Brothers. En 1984, Hasbro compró Milton Bradley Company, y Landmark Entertainment Group renovó el juego con un nuevo arte, añadiendo nuevos personajes y agregando una historia.

   
 

A igual que con el Tío Wiggly, el juego de Candy Land (también llamado Candyland) a tenido varias versiones, y se le trata como una marca registrada, lo que ha generado disputas legales entre Habro y las compañías que lo fabrican sobre las regalías de los complementos (juguetes, películas, etc.). Hoy es un favorito perenne de los juegos de mesas infantiles norteamericanos y el juego vende alrededor de un millón de copias por año.

Candy Land es un juego de tablero de carreras que no requiere de lectura y ni las habilidades mínimas para contar, y eso lo hace adecuado para niños pequeños. Debido al diseño del juego, no hay una estrategia involucrada, los jugadores sólo siguen las instrucciones, que como con el Tío Wiggly usa cartas para mover el peón por el tablero.

El juego se basa en llegar donde el rey Kandy de Candy Land (La tierra de los dulces); para ello los jugadores mueven sus peones en un tablero donde hay un sinuoso camino multicolor (la cantidad de casillas ha variado con los años, pasando de casi 180 a 134 espacios). Cada jugador inicia su ficha al principio de la ruta de colores, y se mueve según las cartas extraídas. El primero en llegar al final es el ganador.

 
   

Hay 3 tipos de cartas: a) cartas con un sólo cuadrado de color, ello indica que el jugador mueve al siguiente cuadrado de ese color; b) cartas con dos cuadrados del mismo color; aquí se mueven al segundo cuadrado de ese color, y c) cartas rosadas de personaje o lugar; donde el jugador se mueve al cuadrado marcado por ese personaje o sitio, ello implica que se puede avanzar o retroceder en estos casos; pero desde inicios del siglo XXI los movimientos hacia atrás no se toman en cuenta cuando se juega con niños pequeños. Cuando termina el movimiento, hay de nuevo 3 posibilidades: a) se aterriza en un cuadrado normal, y espera su próximo turno; b) llegar a alguna de las dos casillas donde inician los atajos, aquí se pasa por el atajo a la casilla marcada al final del atajo; y c) caer sobre un cuadrado adhesivo (marcado con un punto negro), y se debe permanecer allí hasta que el jugador saque una carta del mismo color que el cuadrado. Actualmente los espacios de puntos fueron reemplazados por pozos/trampas de Melaza, y el jugador que aterriza ahí simplemente pierde el siguiente turno.

El juego se gana aterrizando o pasando por la casilla final, y alcanzando así la meta del Castillo de Kandy; las reglas oficiales especifican que cualquier carta que haga que el jugador avance más allá del último cuadrado gana el juego (esto es siguiendo la secuencia de los colores, las casillas marcadas por el camino multicolor de seis colores: rojo, naranja, amarillo, verde, azul y morado), pero muchos juegan de modo que se debe aterrizar exactamente en el último cuadro para ganar. La versión actual cambió el último espacio de un cuadrado violeta a un espacio arco-iris, lo que significa que se aplica a cualquier color sacado por un jugador, resolviendo así cualquier disputa sobre quién gana exactamente el juego.

La cantidad de cartas total del juego es de 64; pero cuantas de color simple y doble varia con los juegos y distribuciones; lo normal es de seis a ocho cartas simples de cada color (36/48 cartas) y dos a cuatro cartas dobles por color (12/24), más las seis rosadas de los personajes y/o lugares; ello suma 66 cartas (36+24+6 = 48+12+6 = 66), en las distribuciones del fabricantes se suele eliminar al azar dos cartas de cualquier color, siendo cada juego diferente del otro internamente en el contenido de las cartas.

   
 

Los cuadrados de personajes y/o lugares varían con las distintas versiones, en las primeras décadas del juego sólo existían lugares, a partir de los ochenta aparecen los personajes y se cuenta una historia con los mismos. Los personajes y lugares han cambiado con el tiempo siendo las tarjetas rosadas más tradicionales las siguientes:

  • Plumpy (gordo), un troll verde que vive bajo el árbol moras; apareció en los ochenta y reemplazó al Pan de jengibre; a inicios del siglo XXI fue reemplazado por Mama Jengibre, quien hace las mejores galletas de jengibre en todo Candy Land, ambos desaparecieron en la actualidad y fueron reemplazados en 2010 por una locación: Los Pastelillos; una tienda de pasteles que recuerda con su forma el nombre que representa.
  • El bosque de hierba buena o bosque de los bastones de dulce, ahí vive el señor Menta, inicialmente se le ponía como un “leñador”, hoy se le dibuja como un patinador sobre hielo, herencia esto a que por un tiempo fue reemplazado por el Duque Remolino, un joven que se desliza sobre una barra de helado por las Pendientes de Helado.
  • Jolly (Alegre), un feliz y gordito monstruo que representa a las gomitas; fue eliminado en 2010 generando una gran protesta y demanda por parte de los jugadores más antiguos. Vivía en la locación original de las Montañas de Gomitas.
  • Abuela Nutt (Nueces), quien vive en la locación original de la Casa de Maní, ubicada en los acres de cacahuates; lugar que comparte con su perro Bazz, (un perro que recuerda a una canasta).
  • Princesa Lolly (Chupete), por un tiempo llamada solamente Lolly; reside en la locación original de los bosques de chupetas arco-iris, que se asemejan a los árboles. Ella sido un personaje constante desde los años ochenta, aunque su nombre ha variado.
  • Reina Helado, hoy degradada a princesa Helado; se la pone como la esposa del Rey Kandy y madre de la Princesa Lolly. Suele ser ubicada en el Mar de Helado, otras patinando en el Lago de copos de nieve, o viviendo en el palacio de Hielo.

A estos personajes se le suman otros en el dibujo del tablero:

  • Los niños; inicialmente dos gemelos rubios, hoy cuatro niños de todas las razas (los gringos y sus problemas de políticamente correcto), que marcan el inicio del camino.
  • El Rey Kandy , el rey de Candy Land; quien vive en un Castillo de dulces y marca el final del recorrido.
  • Lord Licorice (Regaliz/Melaza, sustancia negra usada en dulces y remedios), es el villano de Candy Land; se le solía ubicar en el bosque de Melaza, y en la actualidad se lo ubica en el Pantano de Melaza; y explican el cambio de lugar por la gran cantidad de bosques que ya habían en el tablero. El lugar se dibuja con plantas de paletas marrones. Entre sus mascotas figuran una pequeña araña (Spidora); un cocodrilo (Crockett), un buitre (Buzzy) y varios murciélagos.
  • Gloopy, es un monstruo de chocolate que recuerda (como su nombre) una cosa amorfa y pegajosa; Gloopy vive en el Pantano de Chocolate. En la edición de 2010 desapareció y fue reemplazado por la Abuela Gooey (Pegajosa), quien es la hermana mayor de la Abuela Nueces, con quien tiene una reacción tensa. Ella vive en su casa cerca de la Montaña de Chocolate, y es experta en hacer pasteles de chocolate. Ambos personajes desaparecieron en las versiones más actuales.

A estos lugares y personajes se suelen agregar los atajos y las casillas adhesivas; los nombres de estos espacios son para los atajos: Puente Arcoiris y el Paso de las Gomitas; los cuadrados adhesivos se llamaban: Gomitas Pegajosas, Perdido en el Bosque de las Chupetas y Atrapado en el Pantano de Melaza; hoy simplemente pozos o trampas de melaza.