Los Cuadrados Mágicos (3) Cuadrados Mágicos Aritméticos

Son cuadrados mágicos aritméticos  un conjunto de números enteros, iguales o diferentes, colocados en casillas de un enrejado cuadrado de tal manera que la suma de los números en cada fila, columna o diagonal principal sea siempre la misma, ese número contante se denomina Constante del Cuadrado y el número de casillas de una fila o columna es el Orden del Cuadrado. No existen cuadrados mágicos aritméticos de orden dos, salvo aquellos en que todas las cifras de las celdas sean iguales y eso tiene poco de mágico.

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Tradicionalmente se les imponía a los cuadrados mágicos aritméticos una condición extra, los números debían ser consecutivos e iniciar en el uno. Con estas combinaciones se les conoce como Cuadrados Mágicos Aritméticos Esotéricos, y se les atribuían propiedades mágicas. Por ejemplo, en el Renacimiento, los médicos y astrólogos de la época recetaban cuadrados mágicos de cuarto orden con fines terapéuticos, como una forma de que los pacientes ahuyentaran la melancolía y el aburrimiento [Claro que esto sólo servía a las clases altas que sabían leer y escribir, y que estaban aburridas de ver trabajar a los siervos; el pobre que debía trabajar para comer y que era analfabeta no tenía tiempo para estos juegos de solitarios]. Aquí está el origen del grabado de la “Melancolía” del alemán Alberto Durero, quien puso un cuadrado mágico de cuarto orden en la obra indicando incluso el año de la misma 1514. Se tiene que sólo existe un cuadrado esotérico de orden tres, en 1693  Frenicle De Bessy estableció que existen 880 cuadrados mágicos esotéricos de orden cuatro, hay 275.305.224 combinaciones posibles para el orden cinco, para ordenes mayores sólo existen estimaciones, así que si había ejercicio mental en encontrar tantas posibilidades para el orden cuatro como sujerían los médicos de la epoca.

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Los cuadrados aritméticos esotéricos reciben el nombre de Cuadrados diabólicos si además de las diagonales principales, el resto de las diagonales quebradas suman el número mágico. El cuadrado mágico de Durero ha sido clasificado en esta categoría en virtud de que  aparecen muchas combinaciones regulares dentro del cuadrado que dan el número mágico, pero no cumple con esta condición extra para realmente ser considerado diabólico. También suele ser llamado cuadrado diabólico o satánico el cuadrado esotérico de orden seis, en virtud de que la suma de los números de 1 al 36 tiene por resultado 666, número asociado a la bestia (Satanás o el anticristo) en el Libro de las Revelaciones.

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Se denominan cuadrados satánicos aquellos en los cuales los números del cuadrado esotérico al ser elevado a alguna potencia (2, 3, 4, 5,…) siguen siendo mágicos. También  llamados p-mágicos, por el grado de la potencia a la cual pueden ser elevados los valores de  tabla. El valor “p” es el orden de la potencia  mayor a la que son elevados los números; ello  implica que el cuadrado es un cuadrado mágico para valores de exponente “k ” tales que 1<k<p+1; por ejemplo si es un tetra-mágico, los números de cada celda del cuadrado al ser elevado a potencias dos, tres y cuatro son también cuadrados mágicos.

El cuadrado “bi-mágico”  menor conocido es de orden ocho (ver el cuadrado en la figura inferior, siendo las constante de los cuadrados iguales a 260 (k=1) y 11180 (k=2)) y se supone que no hay cuadrados orden inferior a ocho, aunque no existe prueba concluyente de ello. Se han construido cuadrados tri-mágicos de órdenes 12, 32, 64, 81 y 128; (el único tri-mágico de orden 12 encontrado se señala abajo, siendo sus constantes mágicas 870 (k=1), 83.810 (k=2) y 9 082.800 (k=3)). El tetra-mágico menor encontrado es de orden 64 y el primer penta-mágico encontrado en 2003 es de orden 729. (Para autores de los descubrimientos y otros datos sobre estos p-cuadrados consultar aquí). [Gente  sin  oficio pensaría uno, claro el único logro es entrar en un libro de récords]

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Los Cuadrados Mágicos (5) El cuadrado Mágico de Durero

En su obra “Melancolía”, Alberto Durero presenta un cuadrado mágico aritmético esotérico de orden cuatro.  Lo interesante del cuadrado es que en distintas combinaciones regulares de cuatro números de la tabla, estos siempre suman la constante del cuadrado. Como dato extra las dos cifras centrales de la última fila forman el año de la obra (1514).

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El grabado de la Melancolía de Durero no sólo refleja misticismo en su cuadrado mágico; todas las figuras presentes tienen un simbolismo alquímico, si observamos el dibujo encontramos:

  1. Un ángel coronado con hierbas que apoya su cabeza en una mano y sostiene un compás en la otra.
  2. Un ángel niño sentado sobre una piedra de molino que parece escribir en una tablilla.
  3. Un poliedro irregular de gran volumen que oculta a un caldero sobre llamas.
  4. Una escalera de siete peldaños.
  5. Un murciélago (con el nombre de la obra).
  6. Un cometa llena el cielo.
  7. Objetos colgando: balanza, reloj de arena y campanilla.
  8. Un perro dormido junto a una esfera, clavos, una sierra, una regla y otras herramientas de carpintero.

El nombre de la obra alude a uno de los cuatro “humores” clásico  que influían en el cuerpo humano y su conducta (sanguíneo, colérico, flemático y melancólico). Durante el Renacimiento la figura del melancólico se asoció a la genialidad y la creatividad del artista. El carácter melancólico o melancolía se conocía también como bilis negra y se refleja en el  rostro oscuro (negro) del “ángel”. La bilis negra, se corresponde con la primera de tres fases de la transmutación de la materia en el proceso de la alquimia para fabricar la piedra filosofal y poder transformar el plomo en oro. Esta primera fase llamada Nigredo (color negro) se asocia a la putrefacción o descomposición de la materia, esto es  a la muerte y por ende al planeta Saturno, cuyo metal  es el plomo, (la idea de los alquimistas era transformar el plomo sin valor en valioso oro). La idea de transformar metales también está presente en la imagen del ángel, en alquimia son seres hermafroditas (que significa la unión de opuestos: el mercurio y el azufre)  y están vinculados a la capacidad de trasmutar los metales.

La balanza, el reloj de arena y las campanillas presentes también son símbolos del dios Saturno, dios vinculado a la vejez y la muerte. Recordemos que Saturno (el Cronos griego) es el padre tiempo y dios de la medida. La presencia de malos augurios se reflejan no sólo en Saturno, sino también en el cometa, los cometas siempre han sido vistos como mensajeros de mala suerte; imagen complementada con el murciélago (vinculado a la oscuridad, aunque también puede señalar que el trabajo alquímico se realiza en la oscuridad, en secreto).  Se señala que el artista puede estar reflejando con estos signos de mala fortuna  la muerte de su madre, ocurrida en 1514 (fecha en el cuadrado mágico). Para contrarrestar los influjos negativos del planeta Saturno, del cometa y el murciélago se coloca el cuadrado mágico en su función de talismán protector contra las malas influencia. Por otra parte el poliedro y la esfera aluden a la geometría como base de la alquimia, la escalera de siete peldaños indicaría los pasos que debe seguir el alquimista para alcanzar su meta.

Para entender un poco estos simbolismos y que la obra en cuestión muestra  parte del proceso para hallar la piedra filosofal, debemos señalar que la piedra filosofal es una sustancia con propiedades extraordinarias, entre ellas la capacidad de transmutar los metales vulgares en oro y plata. Existen dos tipos de piedra: la roja, capaz de transmutar metales innobles en oro, y la blanca que transforma metales innobles en plata. La roja se obtiene empleando la «vía seca» y la blanca a través de la «vía húmeda» y en ambos casos el elemento de partida es la pirita de hierro. La «vía húmeda» requiere bastantes días de trabajo constante, un gasto excesivo de combustible y un cuidado excesivo para que no descienda la temperatura del recipiente donde se introducen los elementos básicos para su cocción. La «vía seca» es más rápida y barata, ya que sólo requiere de pocos días aunque la temperatura de trabajo es mayor. En el modelo de la materia del mundo antiguo los elementos son: fuego,agua, aire y tierra, vinculados a combinaciones de cuatro cualidades o principios: frío, caliente, seco y húmedo (de ahí al idea de vías húmedas y secas / destilación y secado). Para el renacimiento se había cambiado a tres elementos: mercurio, azufre y sal (más vinculados a la idea cristiana de espíritu, alma y cuerpo). Para la transformación del plomo en oro se buscaba un material que facilitase la mezcla del mercurio y el azufre (lo que significa el ángel), porque se suponía que ese era el camino acertado.

El perro de la imagen, esta vinculado al dios Mercurio, hablamos por lo tanto de la presencia del segundo metal para la mezcla alquímica necesaria para la meta de hallar la piedra. Por otro lado el poliedro irregular es la imagen del azufre.  La rueda de molino es el símbolo de la «vía seca», ya que debemos secar y moler los materiales, hacerlos polvo (nuevamente hablamos de la destrucción de material inicial). El compás del ángel representa la universidad, ya que permite dibujar al circulo perfecto; por otra parte la escuadras y reglas son signo de rectitud y medida, representan al conocimiento; ambos objetos juntos con todas esas herramientas dispuestas en el suelo y el crisol encendido nos hablan del trabajo alquímico. En conclusión, aunque las interpretaciones y opiniones pueden variar, la obra nos señala los elementos presentes en ese primer paso para fabricar la piedra filosofal.