Los números – Naturaleza, alegorías y más (Cuarta Parte)

Otros números notables

Las cantidades enteras han sido fuente de mucha imaginación, se les han atribuido propiedades y significados que a ciencia cierta poco tienen que ver con la realidad; son para ojos modernos cantidades cuyo significado obedece más a consideraciones poéticas, que a razones tangibles o concretas. Pero desde la antigüedad a la modernidad han aparecido otros números que han maravillado tanto a matemáticos, filósofos, ingenieros, artistas, y a hombres comunes.

De la geometría y de uno de sus teoremas más antiguos (el Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a cuadrado de la hipotenusa del triángulo) derivarían conceptos como la irracionalidad de una cantidad (cantidad que no puede ser expresada como una razón (división) entre dos cantidades enteras) y que en su momento fue para sus descubridores toda una revelación, cambiando la idea del absoluto en una cantidad que se tenía hasta ese entonces. No nos adentraremos en esas complejidades matemáticas, pero si señalaremos algunas de sus consecuencias.

√2 (raíz cuadrada de 2); la longitud de la diagonal del cuadrado unitario
El descubrimiento de las cantidades irracionales le costó la vida a su creador, el pitagórico Hípaso de Metaponto, quien justamente buscaba la razón entre enteros que mide la diagonal de un cuadrado unitario (2). Por su descubrimiento, o por revelar este descubrimiento, se dice que sus compañeros lo sentenciaron a la expulsión (otros lo condenaron a que se suicidara), y Hípaso según crónicas murió ahogado en el mar de forma misteriosa (accidente, suicidio, asesinato, sigue como otro de los tantos misterios de la antigüedad).

Hoy sin embargo a esta cantidad se le conoce también como la Constante de Pitágoras, y se tiene que 2 = 21/2 = 1,414…; y es una cantidad irracional algebraica (surge de la solución de una ecuación de la forma ∑anxn=0; donde los valores de ‘x’, reales o complejos, que satisfacen la ecuación se conocen como raíces, y la solución positiva de: x2-2=0 es √2.

Entre las propiedades más importantes de esta cantidad tenemos: √2/2 = 1/√2.

Por otra parte usando el binomio conjugado (√2+1)(√2-1)=1 es posible obtener la fracción continua de la √2, la cual establece que al tener infinitos términos se trata de un número irracional.

La raíz cuadrada de dos (√2) también se relaciona con la proporción plateada o número de plata por la relación

 
√3 (raíz cuadrada de 3); la longitud de la diagonal del cubo unitario
  La raíz cuadrada de tres (3) representa a tres valores importantes en geometría; por un lado es la diagonal del cubo unitario; en segundo lugar es la altura de un triángulo equilátero de lado dos; y finalmente es la distancia entre las caras opuestas de un hexágono inscrito en un circulo de radio unitario.Se le conoce al número con el nombre de Constante de Teodoro; en honor a Teodoro de Cirene (nacido en Libia, pero habitante de Atenas) y quien probó la irracionalidad de las raíces cuadráticas de los números del 2 al 17 (exceptuando por supuesto 4, 9 y 16 cuyas raíces son enteras).

La raíz de tres  tiene un valor aproximado de √3 = 31/2 =1,732…; y por Teorema de Pitágoras se relaciona con la raíz de dos con la forma: (√2)2 + 12 = (√3)2.

Y como fracción continua toma la expresión:

√5 (raíz cuadrada de 5); la longitud de la diagonal del rectángulo de 2×1
La raíz cuadrada de cinco es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados dos y uno. También por Teorema de Pitágoras se relaciona con las raíces cuadradas de dos y de tres.

(√5)2 = 22+12 = (√2)2 +(√3)2

Su valor es √5 = 51/2 = 2,236…; y esta cantidad aparece dentro del número áureo o proporción dorada ), así como en figuras como los pentágonos y los dodecaedros, y de ahí su importancia.

Como fracción continua vale:

 
φ (phi), el número áureo (de oro)
  El número áureo, también llamado proporción dorada, y otros nombres similares es identificado por la letra griega φ (phi), en honor al escultor griego Fidias. Suele estar vinculado a una proporción para medir relaciones de belleza y que aparece con frecuencia también en la naturaleza.

La proporción dorada es una cantidad definida como: dado dos segmentos de rectas a (más largo) y b (más corto); la razón de a/b es igual a la razón de la suma de ambos segmentos entre el segmento más largo (a+b)/a; sea φ=a/b entonces se obtiene una cantidad cuya irracionalidad fue encontrada por el matemático griego Euclides en el siglo III a.C., y cuyo valor es: φ = (1+√5)/2 = 1,618…

Entre sus propiedades matemáticas tenemos que es el único real positivo donde se cumple que las cantidades decimales son iguales para:

φ-1 = 1/φ = φ-1 = 0,618

φ = φ+0 = 1,618…

φ2φ+1 = 2,618…

Pero además se observa que:

φ3 = 2φ+1 = 4,236…

φ4 = 3φ+2 = 6,854…

φ5 = 5φ+3 = 11,090…

φ6 = 8φ+5 = 17,944…

Y se puede ver que cualquier potencia de φ es igual a la forma (anφ+bn); donde: an=an-1+an-2 y bn=bn-1+bn-2; esto es que los coeficientes siguen la Secuencia de Fibonacci, cada número en la secuencia es la suma de los dos anteriores.

La relación entre el número áureo y la Secuencia de Fibonacci no termina ahí; sino que al dividir dos números consecutivos de la secuencia, el cociente se aproxima al valor de número áureo en el infinito; esta propiedad fue descubierta por el alemán Johannes Kepler, pero demostrada cien años después por el inglés Robert Simson.

Basado en la relación para φ-1=φ-1 es posible desarrollar su forma de fracción continua:La mayoría de las publicaciones escritas, revistas, periódicos, cuadernos, pósteres, etc.) tienen forma de un rectángulo áureo (lados tienen relación 1:1,6…) a fin de hacerlos estéticos (agradables a la vista) para el observador.

δAg (el número de plata), buscando la proporción perfecta para el dinero.
Si bien el número de plata, o razón plateada se conoce desde antigüedad, no fue hasta hace poco que se le puso este nombre por su relación (similitud) con la razón dorada.

En principio dado dos segmentos ab; existe una razón plateada δAg (también denotada ψ) entre ambos cuando a/b es igual a (2a+b)/a; y donde resulta que

δAg = 1+√2 = 2,414…

Entre las propiedades de esta razón tenemos la cantidad y su inversa comparten los mismos números decimales:

δAg-1 = δAg – 2 = 0,414…

Por otra parte se tiene que:

δAg = δAg + 0 = 2,414…

δAg2 = 2δAg + 1 = 5,828…

δAg3 = 5δAg + 2 = 14,071…

δAg4 = 12δAg + 5 = 33,978…

δAg5 = 29δAg + 12 = 82,012…

Al igual que la razón dorada se vincula a la Sucesión de Fibonacci, la razón plateada se asocia a la Sucesión de Pell, donde el número que sigue en la secuencia es la suma del doble del anterior y el antepenúltimo.

Su forma de fracción continua:La proporción plateada aparece en el rectángulo plateado (de lados 1 y 2,4…) y que se usa para de la mayoría de los billetes, dando mayor significado al termino ‘plata’.

Tanto la proporción dorada (n=1), como la proporción plateada (n=2) son considerados casos particulares de las llamadas proporciones metálicas; que cumplen con la siguiente forma:

 
π (pi), la razón entre la circunferencia y el diámetro de un circulo
  π (pi) es la razón entre la longitud dela circunferencia y el diámetro de un circulo; también es igual al valor del área de un circulo de radio unitario. La cantidad π (pi) aparece en la geometría en donde existen círculos, esferas, elipses, elipsoides y otras figuras generadas por rotación alrededor de un eje.

Modernamente también se tiene que el área de la campana de probabilidad de Gauss vale √π; y la solución al problema de Basilea, planteado por Leonhard Euler sobre el límite de la suma infinita de los inversos de los enteros al cuadrado (∑(1/n2)) tuvo respuesta un siglo después por Bernhard Riemann quien definida la función Zeta como ζ(x)=Σ(1/nx); se tiene que evaluada en numero entero par es un cantidad que depende de π (pi); así por ejemplo: ζ(2)=π2/6; ζ(4)=π4/90; ζ(6)=π6/945; cabe señalar que 6/π2 mide además la probabilidad de que seleccionados al azar dos números enteros, estos sean números co-primos (su único divisor común es la unidad).

El uso de la letra griega π (pi) para denotar esta cantidad deriva justamente de indicar ‘perímetro‘ y fue introducido en el siglo XVII por William Oughtred, el uso fue propuesto por William Jones a inicios del siglo XVIII, pero fue Leonhard Euler quien a mitad de ese siglo la popularizó.

La cuantificación de π (pi) fue punto de particular interés a lo largo de la historia; los hebreos asignaban a esta cantidad el valor de tres (3). Entre los babilonios era igual a tres más un octavo (3+1/8 = 25/8 = 3,125); y los antiguos egipcios señalaban de similar forma que el área de un circulo era igual al área de un cuadrado de lado 8/9 el diámetro del circulo, esto es que valía 256/81 = 3,160.

Correspondería al griego Arquímedes demostrar que π (pi) era una cantidad irracional, y por un análisis algorítmico encontrar que este valor se encuentra entre 223/71 = 3,141  < π < 22/7  = 3,143; siendo por mucho tiempo el rango superior aceptado como el mejor valor para este número; también por ello esta cantidad (22/7) se conoce como Constante de Arquímedes.

Hubo que esperar al análisis del cálculo moderno para encontrar métodos analíticos lejos de los intentos geométricos para cuantificar el valor; así el valor de π (pi) quedaría en 3,141592…

Surgirían luego varios desarrollos en series infinitas, y la forma de fracción continua muestra que no es una cantidad regular, por tanto π (pi) además de irracional es transcendental (no solución de una ecuación algebraica).

Pese a ello se han encontrado varias fracciones continuas generalizadas que llevan a π (pi); entre ellas: 

Hoy la potencia de las computadoras han permitido calcular hasta más de un billón de decimales de π (pi), convirtiendo a esta cantidad en el número irracional con más decimales conocidos; pero para efectos prácticos en ingeniería bastan seis y en física moderna no más de doce decimales.

e (el número de Euler), la base de los logaritmos naturales
El numero e es una cantidad relativamente moderna; surge del cálculo, y se asoma su presencia a inicios del siglo XVII cuando el matemático escocés John Napier definió a los logaritmos. A mitad de ese siglo se calcula el área bajo la curva y=1/x; partiendo de x=1 hasta encontrar un valor de x tal que el área sea la unidad; ese valor resultó ser el numero e, pero aún no se veía la relación con los logaritmos.

A finales de ese siglo es cuando el numero e aparece formalmente y en una rama distinta al calculo. Jacob Bernoulli buscaba el valor del interés compuesto, que es lo que gana un capital inicial a una taza de interés dada durante una serie de intervalos de tiempos de imposición. Cuando la tasa de interés es 100% y la cantidad de intervalos se vuelve muy grande, Bernoulli encontró que aparecía un limite superior en la ganancia, una cantidad que estaba entre 2 y 3.

Para inicio del siglo XVIII se encontró la relación entre el área bajo la curva y=1/x y los logaritmos, a partir de este momento se hizo evidente que el número e era la base más sencilla para calcular los logaritmos de cualquier otro número como base. Para ese entonces la cantidad era identificada con distintas letras, pero a inicios de ese siglo se impuso la letra “e”, usada por el matemático Leonhard Euler; por ello es también conocido como el Número de Euler.

Los desarrollos en serie permitieron no sólo calcular la función logaritmo natural y su opuesta, la función exponencial, sino que se pudo determinar que el valor del número e = 2,718…

A diferencia de π (pi) los matemáticos no fueron tan entusiastas en encontrar los distintos decimales del número e. Su forma en fracción continua confirmaba no sólo su irracionalidad, sino que era además transcendental.

Siendo otra forma de fracción continua generalizada la siguiente:

 
i (el número imaginario), la raíz cuadrada negativa
  Dentro de los números reales la ecuación x2+1=0, no tiene solución dado que la respuesta sería ±√-1. En 1777 el matemático Leonhard Euler denotó a esta cantidad con la letra “i”, llamándola de forma despectiva imaginaria. En un primer momento se le trató como cualquier otra cantidad en el álgebra; salvo que i2 = -1.

Cuando se asoció al imaginario con una rotación de 90° del eje real, es cuando surgió lo que se conoce como el plano complejo; donde un par de números reales (x,y) definen a cualquier punto “z” (cantidad compleja) en dicho plano. Por trigonometría el punto z podía ser escrito también en forma polar como:

Cuando se desarrolló el calculo y los desarrollos de serie, surgió la expresión conocida como Formula de Euler.

Lo que permitió definir al punto “z” como una función exponencial imaginaria.

Evaluando la expresión en 180° (π radianes) es cuando aparece una de las formulas más bellas y famosas de las matemáticas, la conocida Identidad de Euler.

Entre las curiosidades de esta cantidad tenemos:

Para el siglo XIX con el estudio de las corrientes eléctricas alternas, los números complejos se convirtieron en una herramienta valiosa para estudiar y manejar estas corrientes, para entonces “i” había dejado de ser algo imaginario e inexistente para pasar a tener dentro del mundo real una gran importancia y presencia física tangible.

A finales de ese mismo siglo William Rowan Hamilton extendió la idea de rotación del imaginario a un espacio de tres dimensiones; y fue su respuesta a como multiplicar y dividir coordenadas en el espacio tridimensional lo que dio origen a los números cuaterniones y donde se cumple la identidad:

Aunque en su tiempo el manejo de los cuaterniones fue eclipsado por el desarrollo del álgebra vectorial, hoy su uso ha sido revitalizado dentro del mundo informático y la programación.

∞ (el infinito), la cantidad inalcanzable
El infinito es por definición una cantidad sin limite superior. Pero este concepto (el de infinito) abarca muchos otros aspectos distintos, por ejemplo los infinitos decimales de 1/3 = 0,333…; ello provocó problemas entre muchos matemáticos (y filósofos), sobre qué es el infinito.

El matemático ingles John Wallis, a mitad del siglo XVII, introduce el símbolo del infinito como un ocho girado en ángulo recto, (∞), la figura hace referencia al mítico uróboros, la serpiente que se devora a si misma por toda la eternidad, o a la curva analema que describe la posición del Sol a una misma hora durante todo el año, y es similar a la curva geométrica lemniscata, que es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las distancias a dos focos es constante.

La forma más simple de infinito tiene que ver con el contar o numerar algo. Por ejemplo podemos ‘contar’ el número de hijos de una mujer; igual podemos contar la cantidad de estrellas del universo (una cantidad muy grande en si, pero finita en verdad).

La teoría de conjuntos estableció que una cantidad no tiene limite si dentro de un conjunto hay un subconjunto de elementos donde existe una relación biyectiva (uno a uno) entre ambos conjuntos, entonces ambos son infinitos en cantidad de elementos.

Por ejemplo, dentro del conjunto de los enteros existen el conjunto de los números pares; para cada numero par se puede asignar un número entero que representa su orden; así el primer par es dos, el segundo par es cuatro, el tercer par es seis, …, en n-enesimo par es el doble de n; y así se puede continuar indefinidamente, por tanto ambos conjuntos (enteros y números pares) son infinitos en elementos que contienen.

A fines del siglo XIX Georg Cantor complicaría la definición de numerar los elementos de un conjunto al señalar que podían haber conjuntos que aunque infinitos en miembros eran a su vez incontables; esto es que no existían suficientes enteros para contar sus elementos; surgían así varios ordenes (tamaños) para los infinitos.

Por ejemplo se pueden contar todas (las infinitas) las soluciones de las ecuaciones algebraicas que dan números irracionales, pero existen los irracionales transcendentes, cuyo número es desconocido, por ello el conjunto de los irracionales no puede ser numerado, y por extensión el conjunto de los números reales; esto es que ambos conjuntos (irracionales y reales) son infinitos e incontables.

Fuera de estas discusiones el infinito (lo interminable) guarda estrecha relación con su opuesto la nada (el cero).

No existen algunas relaciones, siendo estas cantidades indeterminadas, y sus resultados dependen muchas veces de los límites que llevan a estas entidades.

 

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