Los Cuadrados Mágicos (1) Introducción

Se cuenta  que el primer cuadrado mágico fue encontrado en la antigua China en el siglo IV antes de Cristo. El mito señala que hace unos 4200 años en un lugar de China, el emperador Yu había decidido hacer ciertas ofrendas a los dioses para calmar su ira. La historia era que el río Lo (Río Amarillo) se había desbordado, lo que causó grandes destrozos y gran mortandad entre sus súbditos. Con el fin de amortiguar la furia divina, el emperador ofreció 3 animales a los Dioses. El altar estaba junto al río, y de ahí salió una tortuga sagrada, se acercó a los tres animales sacrificados y regresó al río. Era evidente que a los dioses no les complacía la ofrenda. Así que el emperador Yu hizo sacrificar otro animal. La tortuga volvió a salir, pero también se retiró. ¿Qué número de animales agradaría a los Dioses?. Había entre los pajes del emperador un joven muy avispado, que dijo haber visto en el caparazón de la tortuga unos signos como cuentas o puntos agrupados. Inmediatamente los escribió en la tierra y pudo verse el siguiente dibujo:

cuadrado tortuga

Que equivale a la disposición numérica de un cuadrado mágico de 3×3. El emperador Yu situado frente  al dibujo  observó algo asombroso, los nueve primeros números del mundo, sumados en cualquier dirección, vertical, horizontal y diagonal sumaban quince. Así supieron que el número de animales que debían sacrificarse a los dioses era quince. Este cuadrado mágico chino, el primero de cuantos se conocen, se llama Lo Shu (El libro del río Lo), y tiene otras propiedades importantes. Por ejemplo, en las cuatro esquinas están los números pares (Yin), y los números impares (Yang) forman una cruz central. El número 5, que está en el centro, simboliza la Tierra, y los  otros cuatro elementos del universo oriental se representan por las parejas adyacentes: los metales (4 y 9), el fuego (2 y 7), el agua (1 y 6) y la madera (3 y 8).

cuadrado magico CHINO

El Cuadrado Mágico ha sido por mucho un medio para captar y movilizar  el poder espiritual, encerrándolo en una representación simbólica del nombre o de la cifra de quien detenta tal poder.  Los  musulmanes de norte de África vendían talismanes (Herz) cuyo número mágico es el 66, número atribuido a  Alá.

cuadrado magico ALA

Hoy la magia de estos cuadrados radica en dos cosas, la primera es que pese al desorden aparente hay un orden interno reflejado en la suma de sus filas, columnas y diagonales, el cual es divertido encontrar; la segunda es que todos los que se divierten construyéndolos lo hacen para encontrar más rarezas dentro del orden señalado o para romper récords.

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Nota 1: Texto original del mito de la tortuga en: Cuadrados mágicos – por Rubén

Los Cuadrados Mágicos (2) Tipos de Cuadrados Mágicos

Los cuadrados mágicos son cuadrados formados por letras, símbolos o números dispuestos de un modo particular y que antiguamente les atribuían propiedades mágicas. Existen muchos tipos de cuadrados mágicos, entre ellos tenemos los siguientes:

Cuadrados de figuras con reglas especificas

Destaca en este caso el antiguo problema de Gauss de determinar de cuántas maneras es posible colocar ocho reinas en un tablero de ajedrez de tal manera que ninguna pueda atacar a la otra. La respuesta es que hay 92 formas posibles.

tablero de ajedrez_1

tablero de ajedrez_2

Cuadrado Mágico Aritmético

Son un conjunto de números iguales o diferentes colocados en las casillas de un cuadrado y que se caracterizan porque la sumas de sus filas, columnas y diagonales principales es siempre la misma, el valor de la suma es denominado Contante del Cuadrado.

cuadrado magico aritmetico_0

Cuadrados Latinos

Son un conjunto de símbolos dispuestos en las casillas de tal manera que cada símbolo aparezca una sola vez en cada fila y columna.

cuadrado magico latino_0

Los cuadrados grecolatinos

Son el resultado de la combinación de dos cuadrados latinos de modo que cada símbolo del primero se combine con cada símbolo del segundo una y sólo una vez.

cuadrado magico grecolatino_1-1

cuadrado magico grecolatino_2

Tableros Mágicos

Don Richi, a finales del siglo XX estudio los cuadrados mágicos aritméticos y encontró que para una misma constante del cuadrado se podían encontrar infinitas posibilidades, formada no sólo con números naturales, sino con enteros, fracciones, números racionales, etc. Pero también encontró que se pueden realizar cuadrados mágicos multiplicando las cantidades; estos para diferenciarlos de los cuadrados mágicos aritméticos los denominó tableros mágicos.

tablero mágico

Los Sudoku

El sudoku es un juego de moda basado en cálculos matemáticos, el sudoku clásico está compuesto por nueve filas y nueve columnas, y a su vez está dividido en nueve celdas de tres por tres. Dentro de cada celda hay colocados algunos dígitos guía, y falta completar con los dígitos del 1 al 9; con la única condición de que en toda la malla no se repita en fila o columna un número. La propiedad básica del sudoku clásico es que las filas y columnas suman una constante (1+2+3+…+9=45), no así las diagonales.

sudokuw


Los Cuadrados Mágicos (3) Cuadrados Mágicos Aritméticos

Son cuadrados mágicos aritméticos  un conjunto de números enteros, iguales o diferentes, colocados en casillas de un enrejado cuadrado de tal manera que la suma de los números en cada fila, columna o diagonal principal sea siempre la misma, ese número contante se denomina Constante del Cuadrado y el número de casillas de una fila o columna es el Orden del Cuadrado. No existen cuadrados mágicos aritméticos de orden dos, salvo aquellos en que todas las cifras de las celdas sean iguales y eso tiene poco de mágico.

aritmetico_01-11

aritmetico_02-2

Tradicionalmente se les imponía a los cuadrados mágicos aritméticos una condición extra, los números debían ser consecutivos e iniciar en el uno. Con estas combinaciones se les conoce como Cuadrados Mágicos Aritméticos Esotéricos, y se les atribuían propiedades mágicas. Por ejemplo, en el Renacimiento, los médicos y astrólogos de la época recetaban cuadrados mágicos de cuarto orden con fines terapéuticos, como una forma de que los pacientes ahuyentaran la melancolía y el aburrimiento [Claro que esto sólo servía a las clases altas que sabían leer y escribir, y que estaban aburridas de ver trabajar a los siervos; el pobre que debía trabajar para comer y que era analfabeta no tenía tiempo para estos juegos de solitarios]. Aquí está el origen del grabado de la “Melancolía” del alemán Alberto Durero, quien puso un cuadrado mágico de cuarto orden en la obra indicando incluso el año de la misma 1514. Se tiene que sólo existe un cuadrado esotérico de orden tres, en 1693  Frenicle De Bessy estableció que existen 880 cuadrados mágicos esotéricos de orden cuatro, hay 275.305.224 combinaciones posibles para el orden cinco, para ordenes mayores sólo existen estimaciones, así que si había ejercicio mental en encontrar tantas posibilidades para el orden cuatro como sujerían los médicos de la epoca.

aritmetico_03-1

aritmetico_04-2

Los cuadrados aritméticos esotéricos reciben el nombre de Cuadrados diabólicos si además de las diagonales principales, el resto de las diagonales quebradas suman el número mágico. El cuadrado mágico de Durero ha sido clasificado en esta categoría en virtud de que  aparecen muchas combinaciones regulares dentro del cuadrado que dan el número mágico, pero no cumple con esta condición extra para realmente ser considerado diabólico. También suele ser llamado cuadrado diabólico o satánico el cuadrado esotérico de orden seis, en virtud de que la suma de los números de 1 al 36 tiene por resultado 666, número asociado a la bestia (Satanás o el anticristo) en el Libro de las Revelaciones.

aritmetico_09

Se denominan cuadrados satánicos aquellos en los cuales los números del cuadrado esotérico al ser elevado a alguna potencia (2, 3, 4, 5,…) siguen siendo mágicos. También  llamados p-mágicos, por el grado de la potencia a la cual pueden ser elevados los valores de  tabla. El valor “p” es el orden de la potencia  mayor a la que son elevados los números; ello  implica que el cuadrado es un cuadrado mágico para valores de exponente “k ” tales que 1<k<p+1; por ejemplo si es un tetra-mágico, los números de cada celda del cuadrado al ser elevado a potencias dos, tres y cuatro son también cuadrados mágicos.

El cuadrado “bi-mágico”  menor conocido es de orden ocho (ver el cuadrado en la figura inferior, siendo las constante de los cuadrados iguales a 260 (k=1) y 11180 (k=2)) y se supone que no hay cuadrados orden inferior a ocho, aunque no existe prueba concluyente de ello. Se han construido cuadrados tri-mágicos de órdenes 12, 32, 64, 81 y 128; (el único tri-mágico de orden 12 encontrado se señala abajo, siendo sus constantes mágicas 870 (k=1), 83.810 (k=2) y 9 082.800 (k=3)). El tetra-mágico menor encontrado es de orden 64 y el primer penta-mágico encontrado en 2003 es de orden 729. (Para autores de los descubrimientos y otros datos sobre estos p-cuadrados consultar aquí). [Gente  sin  oficio pensaría uno, claro el único logro es entrar en un libro de récords]

cuadrados satanico

Los Cuadrados Mágicos (4) Construyendo Cuadrados Mágicos Aritméticos Esotéricos

1.- Cuadrados Esotéricos de orden impar

En caso de cuadrados mágicos aritméticos esotéricos de orden impar es posible de construir dichos cuadrados si se sigue el procedimiento indicado abajo. Primero sobre una diagonal colocamos los números siguiendo la secuencia natural hasta tener la diagonal completa con el orden del cuadrado impar deseado, avanzamos a la diagonal inferior y así hasta completar un rombo como el mostrado en la figura inferior.

7
6 14
5 13 21
4 12 20 28
3 11 19 27 35
2 10 18 26 34 42
1 9 17 25 33 41 49
8 16 24 32 40 48
15 23 31 39 47
22 30 38 46
29 37 45
36 44
43

A partir del número central del rombo definimos los lados del cuadrado resultando una figura como la indicada abajo:

7
6 14
5 13 21
4 12 20 28
3 11 19 27 35
2 10 18 26 34 42
1 9 17 25 33 41 49
8 16 24 32 40 48
15 23 31 39 47
22 30 38 46
29 37 45
36 44
43

Las celdas donde faltan números se rellenan con los datos de los triángulos opuestos fuera del cuadrado, el resultado es el cuadrado mágico buscado.

4 29 12 37 20 45 28
35 11 36 19 44 27 3
10 42 18 43 26 2 34
41 17 49 25 1 33 9
16 48 24 7 32 8 40
47 23 6 31 14 39 15
22 5 30 13 38 21 46

2.- Cuadrados Esotéricos de orden par, múltiplos de cuatro

Construimos el cuadrado (múltiplo de cuatro) siguiendo las secuencia natural y subdividimos el mismo en cuadrados de cuatro por cuatro (4×4), a cada cuadrado marcamos los números ubicados en las dos diagonales principales de cada subcuadrado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144

Construimos el mismo cuadrado y realizamos los mismos pasos, pero ahora se secuencia de números es a la inversa.

144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133
132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121
120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109
108 107 106 105 104 103 102 101 100 99 98 97
96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85
84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73
72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61
60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49
48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25
24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

El cuadrado mágico resulta al combinar ambos cuadrados, seleccionando las celdas en las diagonales marcadas del primer cuadrado con las celdas no ubicadas en las diagonales marcadas del segundo.

1 143 142 4 5 139 138 8 9 135 134 12
132 14 15 129 128 18 19 125 124 22 23 121
120 26 27 117 116 30 31 113 112 34 35 109
37 107 106 40 41 103 102 44 45 99 98 48
49 95 94 52 53 91 90 56 57 87 86 60
84 62 63 81 80 66 67 77 76 70 71 73
72 74 75 69 68 78 79 65 64 82 83 61
85 59 58 88 89 55 54 92 93 51 50 96
97 47 46 100 101 43 42 104 105 39 38 108
36 110 111 33 32 114 115 29 28 118 119 25
24 122 123 21 20 126 127 17 16 130 131 13
133 11 10 136 137 7 6 140 141 3 2 144

Para construir cuadrados esotéricos de orden par, no múltiplos de cuatro, no existe una regla simple, pero puede revisar aquí y aquí para ver como se fabrican.

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Los Cuadrados Mágicos (5) El cuadrado Mágico de Durero

En su obra “Melancolía”, Alberto Durero presenta un cuadrado mágico aritmético esotérico de orden cuatro.  Lo interesante del cuadrado es que en distintas combinaciones regulares de cuatro números de la tabla, estos siempre suman la constante del cuadrado. Como dato extra las dos cifras centrales de la última fila forman el año de la obra (1514).

melancolía_durero

durero_1

durero_00-12

El grabado de la Melancolía de Durero no sólo refleja misticismo en su cuadrado mágico; todas las figuras presentes tienen un simbolismo alquímico, si observamos el dibujo encontramos:

  1. Un ángel coronado con hierbas que apoya su cabeza en una mano y sostiene un compás en la otra.
  2. Un ángel niño sentado sobre una piedra de molino que parece escribir en una tablilla.
  3. Un poliedro irregular de gran volumen que oculta a un caldero sobre llamas.
  4. Una escalera de siete peldaños.
  5. Un murciélago (con el nombre de la obra).
  6. Un cometa llena el cielo.
  7. Objetos colgando: balanza, reloj de arena y campanilla.
  8. Un perro dormido junto a una esfera, clavos, una sierra, una regla y otras herramientas de carpintero.

El nombre de la obra alude a uno de los cuatro “humores” clásico  que influían en el cuerpo humano y su conducta (sanguíneo, colérico, flemático y melancólico). Durante el Renacimiento la figura del melancólico se asoció a la genialidad y la creatividad del artista. El carácter melancólico o melancolía se conocía también como bilis negra y se refleja en el  rostro oscuro (negro) del “ángel”. La bilis negra, se corresponde con la primera de tres fases de la transmutación de la materia en el proceso de la alquimia para fabricar la piedra filosofal y poder transformar el plomo en oro. Esta primera fase llamada Nigredo (color negro) se asocia a la putrefacción o descomposición de la materia, esto es  a la muerte y por ende al planeta Saturno, cuyo metal  es el plomo, (la idea de los alquimistas era transformar el plomo sin valor en valioso oro). La idea de transformar metales también está presente en la imagen del ángel, en alquimia son seres hermafroditas (que significa la unión de opuestos: el mercurio y el azufre)  y están vinculados a la capacidad de trasmutar los metales.

La balanza, el reloj de arena y las campanillas presentes también son símbolos del dios Saturno, dios vinculado a la vejez y la muerte. Recordemos que Saturno (el Cronos griego) es el padre tiempo y dios de la medida. La presencia de malos augurios se reflejan no sólo en Saturno, sino también en el cometa, los cometas siempre han sido vistos como mensajeros de mala suerte; imagen complementada con el murciélago (vinculado a la oscuridad, aunque también puede señalar que el trabajo alquímico se realiza en la oscuridad, en secreto).  Se señala que el artista puede estar reflejando con estos signos de mala fortuna  la muerte de su madre, ocurrida en 1514 (fecha en el cuadrado mágico). Para contrarrestar los influjos negativos del planeta Saturno, del cometa y el murciélago se coloca el cuadrado mágico en su función de talismán protector contra las malas influencia. Por otra parte el poliedro y la esfera aluden a la geometría como base de la alquimia, la escalera de siete peldaños indicaría los pasos que debe seguir el alquimista para alcanzar su meta.

Para entender un poco estos simbolismos y que la obra en cuestión muestra  parte del proceso para hallar la piedra filosofal, debemos señalar que la piedra filosofal es una sustancia con propiedades extraordinarias, entre ellas la capacidad de transmutar los metales vulgares en oro y plata. Existen dos tipos de piedra: la roja, capaz de transmutar metales innobles en oro, y la blanca que transforma metales innobles en plata. La roja se obtiene empleando la «vía seca» y la blanca a través de la «vía húmeda» y en ambos casos el elemento de partida es la pirita de hierro. La «vía húmeda» requiere bastantes días de trabajo constante, un gasto excesivo de combustible y un cuidado excesivo para que no descienda la temperatura del recipiente donde se introducen los elementos básicos para su cocción. La «vía seca» es más rápida y barata, ya que sólo requiere de pocos días aunque la temperatura de trabajo es mayor. En el modelo de la materia del mundo antiguo los elementos son: fuego,agua, aire y tierra, vinculados a combinaciones de cuatro cualidades o principios: frío, caliente, seco y húmedo (de ahí al idea de vías húmedas y secas / destilación y secado). Para el renacimiento se había cambiado a tres elementos: mercurio, azufre y sal (más vinculados a la idea cristiana de espíritu, alma y cuerpo). Para la transformación del plomo en oro se buscaba un material que facilitase la mezcla del mercurio y el azufre (lo que significa el ángel), porque se suponía que ese era el camino acertado.

El perro de la imagen, esta vinculado al dios Mercurio, hablamos por lo tanto de la presencia del segundo metal para la mezcla alquímica necesaria para la meta de hallar la piedra. Por otro lado el poliedro irregular es la imagen del azufre.  La rueda de molino es el símbolo de la «vía seca», ya que debemos secar y moler los materiales, hacerlos polvo (nuevamente hablamos de la destrucción de material inicial). El compás del ángel representa la universidad, ya que permite dibujar al circulo perfecto; por otra parte la escuadras y reglas son signo de rectitud y medida, representan al conocimiento; ambos objetos juntos con todas esas herramientas dispuestas en el suelo y el crisol encendido nos hablan del trabajo alquímico. En conclusión, aunque las interpretaciones y opiniones pueden variar, la obra nos señala los elementos presentes en ese primer paso para fabricar la piedra filosofal.